人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积同步测试题

第二章　平面向量

2.4　平面向量的数量积

2.4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义

基础过关练

题组一　向量数量积的运算

1.若a·b<0,则a与b的夹角θ的取值范围是(　　)

A.0°≤θ<90° B.90°≤θ<180°

C.90°<θ≤180° D.90°<θ<180°

2.(2019黑龙江双鸭山一中高一期末)若|a|=2,|b|=,a与b的夹角为60°,则a·b=(　　)

A.2 B. C.1 D.

3.(2019吉林长春外国语学校高一期中)已知下列四个式子:①0·a=0;②0·a=0;③0-=;④|a·b|=|a||b|.其中正确的个数为(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

题组二　向量的投影

4.(2019江西玉山一中高一期中)已知|a|=2,|b|=3,|a-b|=,则向量a在b方向上的投影是(　　)

A.2 B. C. D.1

5.设单位向量e1、e2的夹角为,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,则向量b在a方向上的投影为(　　)

A.- B.- C. D.

6.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,(a-b)⊥a,求向量b在向量a方向上的投影.

题组三　向量的模

7.(2019安徽高一期末)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a-b|=(　　)

A. B. C.2 D.

8.已知向量a,b满足a·b=0, |a+b|=m|a|,若a+b与a-b的夹角为,则m的值为(　　)

A.2 B. C.1 D.

9.(2019河南高考模拟)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=2,向量a在向量b方向上的投影为1,则|a-2b|=　　　　. 

题组四　向量夹角的计算与向量垂直

10.(2019广西高二期末)若a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

11.(2018广西南宁三中高一下期末)已知向量⊥,||=3,则·=(　　)

A.9 B.8 C.7 D.10

12.(2019四川高一期末)已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且(a+b)⊥a,则a与b的夹角为(　　)

A. B. C. D.

13.(2019山东枣庄八中高三月考)已知向量|a-b|=|b|,|a-2b|=|b|,则向量a,b的夹角为　　　　. 

14.正方形ABCD中,E为BC边的中点,向量,的夹角为θ,则cos θ=　　　　. 

题组五　数量积的简单应用

15.(2019内蒙古高一期末)在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E是BC的中点,则·=(　　)

A. B. C. D.9

16.

(2019黑龙江省实验中学高三月考)如图所示,等边△ABC的边长为2,D为AC边上的一点,且=λ,△ADE也是等边三角形,若·=,则λ的值是(　　)

A. B. C. D.

17.(2019浙江诸暨中学高一期中)已知正三角形ABC的边长为2,设=2a,=b,则(　　)

A.|a+b|=1 B.a⊥b

C.(4a+b)⊥b D.a·b=1

18.(2019上海金山中学高一下期末)如图,边长为1的正方形ABCD的边BC上有一个动点P,问·是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

能力提升练

一、选择题

1.(★★☆)若·+=0,则△ABC为(　　)

A.直角三角形 B.钝角三角形

C.锐角三角形 D.等边三角形

2.(2019黑龙江哈尔滨三中高三期中,★★☆)对于非零向量a,b,c,下列命题正确的是(　　)

A.若a·c=b·c,则c=0

B.若a⊥b,则a·b=(a·b)2

C.若a∥b,则a在b方向上的投影为|a|

D.若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R),则λ1=λ2=0

3.(2019辽宁高一期末,★★☆)已知a,b是非零向量,若|a|=2|b|,且(a+b)⊥b,则a与b的夹角为(　　)

A.30° B.60° C.120° D.150°

4.(★★☆)在△ABC中,若|+|=|-|,AB=2,AC=3,E,F分别为BC边上的三等分点,则·=(　　)

A. B. C.2 D.

5.(2019江西高三月考,★★☆)已知△ABC的垂心为H,且AB=3,AC=5,M是BC边的中点,则·=(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

6.(2019辽宁高一期末,★★☆)在△ABC中,AB=,AC=2,点E是BC边的中点.O为△ABC所在平面内一点,且||2=||2=||2,则·的值为(　　)

A. B.1 C. D.

7.(2020黑龙江高三月考,★★☆)在△ABC中,|AB|=2,|AC|=2,∠BAC=45°,P为线段AC上任意一点,则·的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

8.(2019安徽芜湖高三模拟,★★★)如图,AB为圆O的一条弦,且|AB|=4,则·=(　　)

A.4 B.-4 C.8 D.-8

二、填空题

9.(2018四川绵阳南山中学高一下期末,★★★)长为2a的线段PQ以直角△ABC的直角顶点A为中点,且BC边长为a,则·的最大值为　　　　. 

10.(2020云南师大附中月考,★★★)在边长为2的等边△ABC中,点O为△ABC外接圆的圆心,则·(+)=　　　　. 

三、解答题

11.(2020湖南长郡中学高一上期中,★★☆)已知△ABC为等边三角形,AB=2,点N、M满足=λ,=(1-λ),λ∈R,设=a,=b.

(1)试用向量a和b表示,;

(2)若·=-,求λ的值.

12.(2019辽宁沈阳高一下期中,★★☆)如图,在△OAB中,点P为直线AB上的一个动点,且满足=λ.

(1)若λ=,用向量,表示;

(2)若||=4,||=3,且∠AOB=60°,请问λ取何值时⊥?

答案全解全析

第二章　平面向量

2.4　平面向量的数量积

2.4.1　平面向量数量积的

物理背景及其含义

基础过关练

1.C　由a·b=|a||b|cos θ<0知cos θ<0,故夹角θ的取值范围是90°<θ≤180°.

2.B　∵|a|=2,|b|=,a与b的夹角为60°,∴a·b=|a||b|cos 60°=2××=,故选B.

3.C　由向量乘以实数仍然为向量,得0·a=0,故①正确,②错误;

因为+=0,所以0-=,故③正确;

由|a·b|=|a||b||cos θ|,得|a·b|=|a|·|b|不一定成立,故④错误.故选C.

4.B　由(a-b)2=4+9-2a·b=11,得a·b=1,则向量a在b方向上的投影是=.故选B.

5.A　依题意得e1·e2=1×1×cos =-,

|a|===,

a·b=(e1+2e2)·(2e1-3e2)=2-6+e1·e2=-,

因此向量b在a方向上的投影为==-.故选A.

6.解析　设向量a,b的夹角为θ,∵(a-b)⊥a,∴(a-b)·a=a2-a·b=0,∴a·b=a2=1,∴向量b在向量a方向上的投影为|b|·cos θ==1.

7.B　向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,

则|a-b|====.故选B.

8.A　∵|a+b|=m|a|>0,∴m>0.

又∵a·b=0,∴a⊥b,|a-b|=|a+b|=m|a|,∴|a|2+2a·b+|b|2=m2|a|2,

∴|b|2=(m2-1)|a|2,

∴(a+b)·(a-b)=|a+b||a-b|×cos ,

∴a2-b2=|a+b||a-b|×cos ,

∴[1-(m2-1)]|a|2=m|a|×m|a|×,即-m2=2-m2,

解得m=2或m=-2(舍去),

故m的值为2.故选A.

9.答案　2

解析　因为向量a在向量b方向上的投影为1,

所以|a|cos<a,b>==1,所以a·b=2,

所以|a-2b|=

=

= =2.

10.A　以a,b为邻边作平行四边形ABCD,如图.

由|a|=|b|=|a-b|知,a,b与a-b形成一个等边三角形,所以此平行四边形为菱形.由菱形的性质可知,a与a+b的夹角为30°.故选A.

11.A　因为⊥,所以·=0,·=·(+)=+·==9.

12.C　因为(a+b)⊥a,故(a+b)·a=a2+a·b=1+2cos<a,b>=0,所以cos<a,b>=-,所以<a,b>=.故选C.

13.答案　

解析　根据题意,设向量|a|=m,向量|b|=n,向量a,b的夹角为θ,

因为向量|a-b|=|b|,所以(a-b)2=b2,所以m2+n2-2mncos θ=n2,整理得m2=2mncos θ,即m=2ncos θ①.

又|a-2b|=|b|,所以(a-2b)2=b2,所以m2+4n2-4mncos θ=n2,整理得m2+3n2-4mncos θ=0②.

将①②联立可得4cos2θ-8cos2θ+3=0,

解得cos θ=±.

又由m=2ncos θ,得cos θ>0,

所以cos θ=,所以θ=.

14.答案　-

解析　设正方形的边长为a,则||=a,||=a,又·=+·(-)=-+·=-a2,所以cos θ===-.

15.D　由题意得∠ABC=120°,·=2×2×cos 120°=-2,

·=(-)·(-)

=(-)·-

=-·+

=×22-×(-2)+22=9.故选D.

16.A　由题意得·=(+)·(++)=+·+·+·++·=22+2·2λcos -2·2λ+2·2λ·cos +4λ2+4λ2cos =2λ2+4=,所以λ2=,因为λ>0,所以λ=.故选A.

17.C　如图,取AB的中点D,==a,

∴AD=BD=BE=1,∠EBC=120°,

∴|a+b|==,故A错误;a,b的夹角为120°,故B错误;(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos 120°+4=0,∴(4a+b)⊥b,故C正确;a·b=1×2×cos 120°=-1,故D错误.故选C.

18.解析　是定值1.根据题意,可知·=·(+)=+·=1+0=1,是定值,为1.

能力提升练

一、选择题

1.A　∵·+=·(+)=·=0,∴⊥,∴∠BAC=90°,∴△ABC为直角三角形.

2.B　对于选项A,若a·c=b·c,则(a-b)·c=0,则a-b=0或c=0或a-b与c垂直,故A错误;对于选项B,若a⊥b,则a·b=0,则a·b=(a·b)2,故B正确;对于选项C,若a∥b,则a在b方向上的投影为±|a|,故C错误;对于选项D,由λ1a+λ2b=0,不能推出λ1=λ2=0,例如λ1=0,λ2≠0,b=0时,λ1a+λ2b=0也成立,故D错误.故选B.

3.D　∵(a+b)⊥b,∴(a+b)·b=a·b+b2=a·b+|b|2=0,∴a·b=-|b|2,

∴cos<a,b>===-,

∴<a,b>=150°.故选D.

4.A　∵|+|=|-|,

∴两边平方并整理得·=0,

∴⊥,

∴||2=||2+||2=13.

又E,F为BC边上的三等分点,

所以不妨设点E靠近点C,

则·=(+)·(+)

=+·+

=-·+

=·+·-·-

=(-)·-

=·-==.

5.D　因为H是△ABC的垂心,所以AH⊥BC,而=+,

所以·=(+)·=·.

又因为点M是BC边的中点,

所以·=(+)·(-)

=(-)=×(25-9)=8.

6.D　∵E为BC边的中点,

∴=(+),

∴·=(+)·=·+·.

又∵||2=||2=||2,

∴△AOB和△AOC为等腰三角形,

∴·=||||cos∠OAB

=||·||=||2,

同理可得·=||2,

∴·=||2+||2=+1=.故选D.

7.C　在△ABC中,设PA=x,x∈[0,2],

则·=(+)·=·+·=x(2-x)×cos 180°+2(2-x)×cos 45°=x2-3x+4=x-2-,

∵x∈[0,2],

∴由二次函数的性质可知,当x=时,有最小值-;当x=0时,有最大值4.

故·的取值范围是-,4.故选C.

8.D　设AB的中点为M,连接OM,则OM⊥AB,

则·=2·

=2||||cos(π-∠OAB)

=-2×2×||×cos∠OAB

=-4||=-8.故选D.

二、填空题

9.答案　0

解析　因为·=(+)·(+)=(+)·(-)=·(-)-=·-a2≤||·||-a2=a2-a2=0,所以·的最大值为0.

10.答案　-4

解析　如图,在等边△ABC中,O是正△ABC外接圆的圆心,则O也是正△ABC的重心.设AO的延长线交BC于点D,

则AD垂直平分BC,

因为三角形ABC的边长为2,

所以AD=3,圆的半径OA=2,

故+=2=-,

所以·(+)=-=-4.

三、解答题

11.解析　(1)=-=(1-λ)-=(1-λ)a-b,

=-=λ-=λb-a.

(2)·=-,

即·=[(1-λ)a-b]·(λb-a)

=[λ(1-λ)+1]a·b-λb2-(1-λ)a2

=(λ-λ2+1)×2×2×-4λ-4(1-λ)

=-2λ2+2λ-2=-,

整理得4λ2+1-4λ=0,解得λ=.

12.解析　(1)由题意得=,

∴-=(-),

∴=+.

(2)由题意知·=4×3×cos 60°=6.

∵=λ,

∴-=λ(-),

∴=(1-λ)+λ.

∵⊥,

∴·=[(1-λ)+λ]·(-)=(1-2λ)·-(1-λ)+λ=6(1-2λ)-16(1-λ)+9λ=0,解得λ=.