人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线达标测试

3.3　抛物线

3.3.1　抛物线及其标准方程

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.抛物线y=x2的准线方程是y=1,则a的值是 (　　)

A. B.- C.4 D.-4

解析抛物线y=x2的标准方程为x2=ay,其准线方程为y=-,又抛物线准线方程为y=1,得1=-,解得a=-4.

答案D

2.已知抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,则抛物线的标准方程为 (　　)

A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x

解析由抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,根据抛物线的定义可得,

∴p=1,所以抛物线的标准方程为y2=2x.故选B.

答案B

3.(2020河北保定高二期末)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0等于 (　　)

A.4 B.2 

C.1 D.8

解析如图,易知F,0,准线l的方程为x=-.

过A作AA'⊥l,垂足为A',则|AF|=|AA'|,

即x0=x0+=x0+,∴x0=1.

答案C

4.点M是抛物线y2=2px(p>0)上一点,点F为抛物线的焦点,FM⊥x轴,且|OM|=,则抛物线的准线方程为 (　　)

A.x=-1 B.x=-2 C.y=-1 D.y=-2

解析抛物线y2=2px的焦点为F,

点M为抛物线上的点,且FM⊥x轴,

∴M.

又|OM|=,∴+p2=5,

解得p=2或p=-2(舍),=1,所以抛物线的准线方程为x=-1,故选A.

答案A

5.已知F为抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)

A. B.1 C. D.

解析抛物线的准线为l:x=-,过A,B作准线的垂线,垂足为E,G,AB的中点为M,

过M作准线的垂线,垂足为H,因为A,B是该抛物线上的两点,故|AE|=|AF|,|BG|=|BF|,

所以|AE|+|BG|=|AF|+|BF|=3,

所以|MH|=,故M到y轴的距离为,故选C.

答案C

6.

如图,已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=(　　)

A.2∶ B.1∶2 C.1∶ D.1∶3

解析易知抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),∴抛物线的准线方程l:y=-1.又点A的坐标为(2,0),∴直线AF的斜率k==-.如图,过点M作MG⊥l于点G,根据抛物线的定义知|FM|=|MG|.

在Rt△MNG中,易知tan ∠MNG=-k=,

∴,即|NG|=2|MG|,

∴|MN|=|MG|,

∴|FM|∶|MN|=1∶.故选C.

答案C

7.与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　　. 

解析若动圆在y轴右侧,则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线x=-2的距离相等,其轨迹是抛物线;若动圆在y轴左侧,则动圆圆心轨迹是x轴的负半轴.

答案y2=8x(x>0)或y=0(x<0)

8.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线C:-y2=1的焦距为　　　　　.若双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,则实数p的值为　　　　　. 

解析在双曲线C:-y2=1中,a2=3,b2=1,

∴c2=a2+b2=4,即c=2,因此焦距2c=4.

∵双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,

∴在抛物线y2=2px(p>0)中,=c,即p=4.

答案4　4

9.根据下列条件求抛物线的标准方程:

(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2);

(2)焦点在x轴负半轴上,焦点到准线的距离是5.

解(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且-=-2,所以p=4,

所以,所求抛物线的标准方程是x2=-8y.

(2)由焦点到准线的距离为5,知p=5,又焦点在x轴负半轴上,

所以,所求抛物线的标准方程是y2=-10x.

关键能力提升练

10.

(2020浙江温州十校联合体高二期末)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是平面BB1C1C内一动点,若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹是(　　)

A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线

解析由题意知,直线C1D1⊥平面BB1C1C,则C1D1⊥PC1,即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离,那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离,所以点P的轨迹是抛物线.

答案D

11.

(2020河北保定高三联考)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为(　　)

A.y2=9x 

B.y2=6x

C.y2=3x 

D.y2=x

解析如图,分别过A,B作AA1⊥l于A1,

BB1⊥l于B1,由抛物线的定义知:|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,

∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°,

∴∠AFx=60°,连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过F作FF1⊥AA1于F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于K,

则|KF|=|A1F1|=|AA1|=|AF|,即p=,∴抛物线方程为y2=3x.

答案C

12.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=.设线段AB的中点M在l上的射影为N,则的最大值是(　　)

A. B. C. D.

解析设|AF|=a,|BF|=b,A,B在准线上的射影分别为Q,P,连接AQ,BP(图略).

由抛物线定义,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|.

在四边形ABPQ中,

得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得

|AB|2=a2+b2-2abcos =a2+b2+ab,

配方得|AB|2=(a+b)2-ab.又ab≤,

∴(a+b)2-ab≥(a+b)2-(a+b)2,

得到|AB|≥(a+b),∴,

即的最大值为.

答案C

13.(多选题)对抛物线y=x2,下列描述正确的是 (　　)

A.开口向上,焦点为(0,2)

B.开口向右,准线方程为x=-

C.开口向右,焦点为

D.开口向上,准线方程为y=-2

解析抛物线化成标准方程形式x2=8y,可得其开口向上,焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2.

答案AD

14.动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过点　　　　　. 

解析抛物线y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x+2=0,故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离,所以F在圆上.

答案(2,0)

15.在平面直角坐标系xOy中,圆M:(x-1)2+y2=1,点A(3,1),P为抛物线y2=2x上任意一点(异于原点),过点P作圆M的切线PB,B为切点,则|PA|+|PB|的最小值是　　　　　. 

解析设P(x,y),可得y2=2x,圆M:(x-1)2+y2=1的圆心M(1,0),半径为1,连接PM,如图所示,

|PB|==|x|,

即|PB|为点P到y轴的距离.抛物线的焦点为F,准线方程为x=-,可得|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-.过点A作准线的垂线,垂足为K,

可得A,P,K三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值|AK|=,即有|PA|+|PB|的最小值为3.

答案3

16.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.

(1)求该抛物线的方程;

(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+λ,求实数λ的值.

解(1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,故x1+x2=.

由抛物线定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即p=4.

故抛物线的方程为y2=8x.

(2)由(1),得p=4,代入4x2-5px+p2=0,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,

则y1=-2,y2=4.

故A(1,-2),B(4,4).

设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(1+4λ,-2+4λ),

又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),

可得(2λ-1)2=4λ+1,

解得λ=0或λ=2.

学科素养创新练

17.河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5 m时,水面宽为8 m,一小船宽4 m,高2 m,载货后船露出水面的部分高0.75 m,问:水面上涨到与拱桥拱顶相距多少时,小船不能继续通航?

解如图,以拱桥的拱顶为原点,过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系.

设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由题意可知,点B(4,-5)在抛物线上,

故p=,得x2=-y.

当船面两侧和抛物线接触时,船不能继续通航,

设此时船面宽为|AA'|,则A(2,yA)(yA<0),

由22=-yA,得yA=-.

又知船露出水面的部分高为0.75 m,

所以h=|yA|+0.75=2(m).

所以当水面上涨到与拱桥拱顶相距2 m时,小船开始不能通航.