数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程综合与测试课后测评

专题强化练2　椭圆与双曲线的综合应用

一、选择题

1.(★★☆)双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=-x,则双曲线的方程为(　　)

A.x2-y2=96 B.y2-x2=160

C.x2-y2=80 D.y2-x2=24

2.(2018河南郑州高二检测,★★☆)若椭圆+=1与双曲线-=1(m,n,p,q均为正数)有共同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个公共点,则|PF1|·|PF2|等于　(　　)

A.p2-m2 B.p-m   C.m-p  D.m2-p2

3.(★★☆)我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中椭圆的离心率为　(　　)

A. B. C. D.

4.(2018重庆南开中学高三下学期二诊,★★☆)设F1,F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M,N两点,且满足∠MAN=120°,则该双曲线的离心率为(　　)

A.+1 B. C. D.

5.(★★★)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则(　　)

A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1

C.m<n且e1e2>1 D.m<n且e1e2<1

6.(2019陕西西安期中,★★★)已知中心均在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1,F2.这两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,记椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1e2的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.(0,+∞)

二、填空题

7.(★★☆)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1的离心率为　　　　. 

8.(★★☆)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为　　　　　　. 

9.(2020河南豫西名校高二第二次联考,★★★)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e∈,直线y=-x+1交椭圆于M,N两点,O为坐标原点,且·=0,则椭圆短轴长的最小值是　　　　. 

三、解答题

10.(★★★)已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.

(1)求双曲线C2的方程;

(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围.

答案全解全析

一、选择题

1.D　椭圆+=1的焦点坐标是(0,±4),设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),

则a2+b2=48①,=1②,

由①②,得a2=b2=24.

所以双曲线方程为y2-x2=24.故选D.

2.C　由题设可知m>n,再由椭圆和双曲线的定义,知|PF1|+|PF2|=2及|PF1|-|PF2|=±2,两个式子分别平方再相减,即可得|PF1|·|PF2|=m-p.故选C.

3.A　设|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a1,||PF1|-|PF2||=2a2,e1=,e2==.在△PF1F2中,由余弦定理,得4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|,所以16c2=(|PF1|+|PF2|)2+3(|PF1|-|PF2|)2=4+12,即4=+3,解得=或=1(舍去),所以e1=.故选A.

4.C　依题意得,以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,双曲线C的一条渐近线方程为y=x.由解得或

不妨取M(a,b),则N(-a,-b).因为A(-a,0),∠MAN=120°,所以∠MAO=30°,又tan∠MAO=,所以=,所以3b2=4a2,所以3(c2-a2)=4a2,所以3c2=7a2,所以该双曲线的离心率e=,故选C.

5.A　由题意知,m2-1=n2+1,即m2-n2=2,故m>n.

易知e1e2=·==>1,

故选A.

6.C　设椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1,椭圆和双曲线的焦距为2c,|PF1|=m,|PF2|=n(m>n).由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,|PF1|=10,所以m=10,n=2c.由椭圆的定义,得m+n=2a1.由双曲线的定义,得m-n=2a2,即a1=5+c,a2=5-c(c<5).再由三角形的两边之和大于第三边,可得2c+2c>10,c>,所以<c<5.由离心率公式,可得e1e2=·==.由于1<<4,所以>,即e1e2的取值范围是,故选C.

二、填空题

7.答案　

解析　在椭圆中,a2-b2=c2,=,

所以=,所以a2=2c2.

所以b2=a2-c2=c2,

在双曲线中,a2+b2=c'2=3c2,

则e'2==,e'=.

8.答案　-=1

解析　设椭圆C1的方程为+=1(a1>b1>0),

由已知得所以

所以焦距2c1=10.

又因为8<10,

所以曲线C2是双曲线.

设其方程为-=1(a2>0,b2>0),

则a2=4,c2=5,

所以=52-42=32=9,

所以曲线C2的方程为-=1.

9.答案　

解析　设M(x1,y1),N(x2,y2),由

化简得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,

则x1+x2=,x1x2=,

·=x1x2+y1y2=x1x2+(-x1+1)(-x2+1)=2x1x2-(x1+x2)+1=0,

代入解得a2=.∵e∈,

∴e2==1-=2-2b2∈,

解得≤b≤.∴≤2b≤,∴椭圆短轴长的最小值是.

三、解答题

10.解析　(1)设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0),

则a2=4-1=3,c2=4.

再由a2+b2=c2,得b2=1,

故双曲线C2的方程为-y2=1.

(2)将y=kx+代入-y2=1,

得(1-3k2)x2-6kx-9=0.

由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得

∴k2≠且k2<1.①

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=,x1x2=.

∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)

=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=.

又∵·>2,

∴x1x2+y1y2>2,即>2,∴>0.

解得<k2<3.②

由①②,得<k2<1.

故k的取值范围为∪.