人教A版 (2019)5.3 诱导公式第2课时课后测评

这是一份人教A版 (2019)5.3 诱导公式第2课时课后测评，共9页。试卷主要包含了求证，))k∈Z等内容，欢迎下载使用。

必备知识基础练
1.已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－eq \f(3,5)，且α是第二象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))的结果是( )
A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5)
C．±eq \f(4,5) D.eq \f(3,5)
2．已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，则sin(α－15°)＋cs(105°－α)的值是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2,3)
3．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值等于( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(2\r(2),3)
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
4．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))，则
eq \f(sinπ－α＋csπ＋α,5cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α))＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α)))＝________.
5.求证：eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3,2)π))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2θ)＝eq \f(tan9π＋θ＋1,tanπ＋θ－1).
6．求证：eq \f(tan2π－αsin－2π－αcs6π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2))))＝－tan α.
7.已知f(α)＝eq \f(sinπ－αcs－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),csπ＋αsin－α).
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝eq \f(3,5)，求tan A－sin A的值．
关键能力综合练
一、选择题
1．如果|sin α|＝eq \f(1,3)，且α是第二象限角，那么sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C．－eq \f(2\r(2),3) D.eq \f(2\r(2),3)
2．若sin(180°＋α)＋cs(90°＋α)＝－a，则cs(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )
A．－eq \f(2,3)a B．－eq \f(3,2)a
C.eq \f(2,3)a D.eq \f(3,2)a
3．如果角θ的终边经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＋cs(π－θ)＋tan(2π－θ)等于( )
A．－eq \f(4,3) B.eq \f(4,3)
C.eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)
4．(易错题)已知cs 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A.eq \f(1－m2,m) B.eq \r(1－m2)
C．－eq \f(1－m2,m) D．－eq \r(1－m2)
5．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(3,5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))的值是( )
A．－eq \f(3,5) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)
6．设α是第二象限角，且cseq \f(α,2)＝－eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π－α,2))))，则eq \f(α,2)是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
二、填空题
7．若cs θ＝eq \f(\r(5),5)，θ为锐角，则sin θ＝________，eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ＋θ,3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－csπ－θ)＝________.
8．若f(cs x)＝cs 2x，则f(sin 15°)＝________.
9．(探究题)在△ABC中，sineq \f(A＋B－C,2)＝sineq \f(A－B＋C,2)，则△ABC的形状是________．
三、解答题
10．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))·tan22π－α·tanπ－α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))的值．
学科素养升级练
1．(多选题)若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cs(A＋B)＝cs C
B．sin(A＋B)＝sin C
C．cseq \f(A＋C,2)＝sin B
D．sineq \f(B＋C,2)＝cseq \f(A,2)
2．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(2π,3)))＝____________， cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(5π,6)))＝____________.
3．(学科素养—逻辑推理)已知f(cs x)＝cs 17x.
(1)求证：f(sin x)＝sin 17x；
(2)对于怎样的整数n，能由f(sin x)＝sin nx推出f(cs x)＝cs nx?
第2课时 诱导公式五、六
必备知识基础练
1．解析：∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α＝－eq \f(3,5)，
∴sin α＝eq \f(3,5)，且α是第二象限角，
∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5).
而sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－(－cs α)＝cs α＝－eq \f(4,5).
答案：B
2．解析：sin(α－15°)＋cs(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cs[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cs(75°＋α)
＝－cs(75°＋α)－cs(75°＋α)
＝－2cs(75°＋α)＝－eq \f(2,3).
答案：D
3．解析：∵eq \f(π,4)＋α－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(π,2)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝
cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－eq \f(1,3).故选D.
答案：D
4．解析：∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))，
∴sin α＝2cs α.
原式＝eq \f(sin α－cs α,5sin α－3cs α)＝eq \f(2cs α－cs α,10cs α－3cs α)＝eq \f(1,7).
答案：eq \f(1,7)
5．证明：左边＝eq \f(－2cs θ·sin θ－1,cs2θ－sin2θ)＝eq \f(－sin θ＋cs θ2,cs θ－sin θcs θ＋sin θ)
＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)，
右边＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)，所以原等式成立．
6．证明：左边＝eq \f(tan－αsin－αcs－α,sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))))
＝eq \f(－tan α－sin αcs α,sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))))
＝eq \f(sin2α,－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))
＝eq \f(sin2α,－cs αsin α)＝－eq \f(sin α,cs α)＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
7．解析：(1)f(α)＝eq \f(sin αcs αcs α,－cs α－sin α)＝cs α.
(2)由(1)知，cs A＝eq \f(3,5)，因为A是△ABC的内角，
所以0所以sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(4,5)，
所以tan A＝eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(4,3)，
所以tan A－sin A＝eq \f(4,3)－eq \f(4,5)＝eq \f(8,15).
关键能力综合练
1．解析：∵α是第二象限角，∴sin α＝eq \f(1,3)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(2\r(2),3)，故选D.
答案：D
2．解析：由条件得－sin α－sin α＝－a，故sin α＝eq \f(a,2)，
原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－eq \f(3,2)a.
答案：B
3．解析：易知sin θ＝eq \f(4,5)，cs θ＝－eq \f(3,5)，tan θ＝－eq \f(4,3).
原式＝cs θ－cs θ－tan θ＝eq \f(4,3).
答案：B
4．解析：sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)
＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)
＝－cs 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝eq \r(1－cs231°)＝eq \r(1－m2).
答案：B
5．解析：因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(3,5)，故选B.
答案：B
6．解析：α是第二象限角，eq \f(α,2)是第一或第三象限角．
－eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π－α,2))))＝－eq \r(1－sin2\f(α,2))＝－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))＝cseq \f(α,2)，
∴eq \f(α,2)为第三象限角．
答案：C
7．解析：∵cs θ＝eq \f(\r(5),5)，θ为锐角，∴sin θ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(2\r(5),5)，
则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ＋θ,3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－csπ－θ)＝eq \f(sin θ－－sin θ,3cs θ－－cs θ)＝eq \f(2sin θ,4cs θ)＝1.
答案：eq \f(2\r(5),5) 1
8．解析：f(sin 15°)＝f(cs 75°)＝cs 150°＝－cs 30°＝－eq \f(\r(3),2).
答案：－eq \f(\r(3),2)
9．解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.又∵sineq \f(A＋B－C,2)＝sineq \f(A－B＋C,2)，
∴sineq \f(π－2C,2)＝sineq \f(π－2B,2).
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－C))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B)).∴cs C＝cs B.
又∵B，C为△ABC的内角，∴C＝B.
∴△ABC为等腰三角形．
答案：等腰三角形
10．解析：因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－eq \f(3,5)，
所以sin α＝－eq \f(3,5)，
又因为α为第三象限角，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5).所以tan α＝eq \f(3,4).
故原式＝eq \f(－cs α·－cs α·tan2α·－tan α,sin α·－sin α)＝tan α＝eq \f(3,4).
学科素养升级练
1．解析：因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，eq \f(A＋C,2)＝eq \f(π－B,2)，eq \f(B＋C,2)＝eq \f(π－A,2)，
所以cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－cs C，
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
cseq \f(A＋C,2)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(B,2)))＝sineq \f(B,2)，
sineq \f(B＋C,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝cseq \f(A,2).所以BD正确．故选BD.
答案：BD
2．解析：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(2π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \f(1,3)；
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(5π,6)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))－\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝eq \f(1,3).
答案：－eq \f(1,3) eq \f(1,3)
3．解析：(1)证明：f(sin x)＝feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(17\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(π,2)－17x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－17x))＝sin 17x.
(2)f(cs x)＝feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nπ,2)－nx))
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－sin nx，n＝4k，,cs nx，n＝4k＋1，,sin nx，n＝4k＋2，,－cs nx，n＝4k＋3.))k∈Z
故所求的整数为n＝4k＋1，k∈Z.
知识点一
化简求值
知识点二
利用诱导公式证明三角恒等式
知识点三
诱导公式的综合应用