高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第2课时当堂检测题

第五章　5.3　第2课时

A组·素养自测

一、选择题

1．已知cos＝，那么sinα等于(　A　)

A．－　　　　　　　 B．

C．－ D．

[解析]　＝cos＝cos＝－sinα，

所以sinα＝－.故选A．

2．若sin<0，且cos>0，则θ是(　C　)

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

[解析]　由于sin＝cosθ<0，cos＝－sinθ>0，即sinθ<0，所以角θ的终边落在第三象限，故选C．

3．已知cos＝－，则sin等于(　A　)

A．－ B．

C．－ D．

[解析]　sin＝sin

＝cos＝－，故选A．

4．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝(　C　)

A．3－cos2x B．3－sin2x

C．3＋cos2x D．3＋sin2x

[解析]　f(cosx)＝f[sin(－x)]＝3－cos2＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x.

5．已知sin(π＋θ)＋cos＝2cos(π－θ)，则sinθcosθ－cos2θ＝(　C　)

A． B．－

C． D．

[解析]　由题意得－sinθ－sinθ＝－2cosθ⇒tanθ＝，因此sinθcosθ－cos2θ＝＝＝.

6．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是(　B　)

A．－ B．－

C． D．

[解析]　由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，

得：－sinα－sinα＝－a，即sinα＝，

cos(270°－α)＋2sin(360°－α)

＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－a.

二、填空题

7．计算cos(－π)＋sin＝____.

[解析]　依题意，原式＝cos＋sin

＝cos(4π＋)＋sin(8π＋)

＝cos＋sin＝.

8．sin(－)＋costan2 020π－cos(－)＋sin＝__－1__.

[解析]　原式＝－sin＋cos×0－cos－sin＝－＋0＋－1＝－1.

三、解答题

9．化简：(1)·sin(α－)cos(＋α)；

(2)sin(－α－5π)cos(α－)－sin(＋α)cos(α－2π)．

[解析]　(1)原式＝·sin[－(－α)]·(－sinα)＝·[－sin(－α)](－sinα)

＝·(－cosα)(－sinα)＝－cos2α.

(2)原式＝sin(－α－π)cos[－(－α)]－sin[π＋(＋α)]·cos[－(2π－α)]

＝sin[－(α＋π)]cos(－α)＋sin(＋α)cos(2π－α)＝－sin(α＋π)sinα＋cosαcosα＝sin2α＋cos2α＝1.

10．求证：＋＝.

[解析]　∵左边＝＋＝＋＝＝＝＝右边，∴等式成立．

B组·素养提升

一、选择题

1．若角A、B、C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　D　)

A．cos(A＋B)＝cosC B．sin(A＋B)＝－sinC

C．cos(＋C)＝sinB D．sin＝cos

[解析]　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，

∴cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC．

所以A，B都不正确；同理，B＋C＝π－A，

所以sin＝sin(－)＝cos，因此D是正确的．

2．α为锐角，2tan(π－α)－3cos(＋β)＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα＝(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　由已知可得，－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ＝1解得tanα＝3，故sinα＝，选C．

3．(多选题)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　CD　)

A．sin(－x)＝sinx B．sin(－x)＝cosx

C．cos(＋x)＝－sinx D．cos(x－π)＝－cosx

[解析]　因为sin(－x)＝－sinx，故A不成立；

因为sin(－x)＝－cosx，故B不成立；

因为cos(＋x)＝－sinx，故C成立；

因为cos(x－π)＝－cosx，故D成立．故选CD．

4．(多选题)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与α“广义互余”的是(　AC　)

A．sinβ＝ B．cos(π＋β)＝

C．tanβ＝ D．tanβ＝

[解析]　∵sin(π＋α)＝－sinα＝－，∴sinα＝，若α＋β＝，则β＝－α.

A中sinβ＝sin(－α)＝cosα＝±，故A符合条件；

B中，cos(π＋β)＝－cos(－α)＝－sinα＝－，故B不符合条件；

C中，tanβ＝，即sinβ＝cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±，即C符合条件；

D中，tanβ＝，即sinβ＝cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±，故D不符合条件，故选AC．

二、填空题

5．已知sin(＋α)＝，则sin(－α)＝____.

[解析]　∵sin(＋α)＝cosα＝，∴sin(－α)＝cosα＝.

6．化简＝__－1__.

[解析]　原式＝

＝＝＝－1.

7．若f(cosx)＝5＋2sin2x，则f()的值等于__5±__.

[解析]　∵f(cosx)＝5＋2sin2x，

所以f()＝f[cos(2kπ±)]

＝f[cos(±)]＝5＋2sin(±)＝5±.

三、解答题

8．求值：

(1)cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos；

(2)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°.

[解析]　(1)原式＝(cos＋cos)＋(cos＋cos)＋(cos＋cos)＝[cos＋cos(π－)]＋[cos＋cos(π－)]＋[cos＋cos(π－)]＝(cos－cos)＋(cos－cos)＋(cos－cos)＝0.

(2)sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，

sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，

…，

sin244°＋sin246°＝sin244°＋cos244°＝1，

sin245°＝()2＝，

上述各式相加可得，原式＝44＋＝.

9．(2019·重庆江津等七校高一期末)已知f(α)＝.

(1)求f()的值；

(2)若α∈(0，π)且f(α)＋f(－α)＝－，求sin2α－cosα的值．

[解析]　(1)因为f(α)＝＝－cosα，所以f()＝－cos＝－.

(2)因为f(α)＋f(－α)＝－，

所以－cosα－cos(－α)＝－，

所以cosα＋sinα＝，

两边平方，得1＋2sinαcosα＝，

所以2sinαcosα＝－，

1－2sinαcosα＝，即(sinα－cosα)2＝，

因为2sinαcosα＝－<0，α∈(0，π)，所以α∈(，π)，所以sinα－cosα>0，

所以sinα－cosα＝，结合cosα＋sinα＝，

解得sinα＝，cosα＝－，

故sin2α－cosα＝－(－)＝.