高中4.2 指数函数课后测评

4.2.2　指数函数的图象和性质(一)

必备知识基础练

1．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0

B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0

D．0<a<1，b<0

2．函数y＝a|x|(a＞1)的图象是(　　)

3．图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图象，而a∈，则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.

4．已知函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，则定点P的坐标是________.

5.下列函数中，定义域与值域相同的是(　　)

A．y＝2x       B．y＝

C．y＝3     D．y＝2

6．求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝；(2)y＝2；(3)y＝2.

关键能力综合练

一、选择题

1．函数f(x)＝πx与g(x)＝x的图象关于(　　)

A．原点对称  B．x轴对称

C．y轴对称   D．直线y＝－x对称

2．函数y＝的定义域是(　　)

A．(－∞，0)  B．(－∞，0]

C．[0，＋∞)  D．(0，＋∞)

3．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点(　　)

A．(0,1)  B．(0，－1)

C．(－1,0)  D．(1,0)

4．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是(　　)

5．若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有(　　)

A．0<a<1，且b>0  B．a>1，且b>0

C．0<a<1，且b<0  D．a>1，且b<0

6．(探究题)已知0<m<n<1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　)

二、填空题

7．(易错题)已知f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a＝________.

8．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．

9．函数y＝4x＋2x＋1＋1的定义域是____________．值域是__________．

三、解答题

10．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．

学科素养升级练

1．(多选题)若指数函数y＝ax在区间[－1,1]上的最大值和最小值的和为，则a的值可能是(　　)

A．2  B.

C．3  D.

2．函数f(x)＝的图象大致为(　　)

3．(学科素养—数学抽象)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)．

(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；

(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；

(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．

4．2.2　指数函数的图象和性质(一)

必备知识基础练

1．解析：由图知f(x)单调递减，故0<a<1，f(0)<1，即a－b<1，∴－b>0，∴b<0，选D.

答案：D

2．解析：该函数是偶函数．可先画出x≥0时，y＝ax的图象，然后沿y轴翻折过去，便得到x＜0时的函数图象．

答案：B

3．解析：作直线x＝1，与各曲线交点的纵坐标即为底数a的值，而<<<π，故C1，C2，C3，C4对应函数的底数依次是，，π，.

答案：　　π　

4．解析：令x＝1，y＝4＋a0＝4＋1＝5，故f(x)图象过定点(1,5)．

答案：(1,5)

5．解析：A项中，y＝2x的定义域为R，值域为(0，＋∞)，B项中，y＝的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠0}；C项中，由x－1>0得x>1，所以y＝3的定义域为(1，＋∞)，由>0得3>30＝1，所以其值域也为(1，＋∞)；D项中，y＝2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而2>0且2≠1，所以其值域为(0,1)∪(1，＋∞)．所以选C.

答案：C

6．解析：(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，

因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，

故函数y＝的定义域为(－∞，0]．

因为x≤0，所以0<3x≤1，

所以0≤1－3x<1，

所以∈[0,1)，

即函数y＝的值域为[0,1)．

(2)要使函数式有意义，则x－4≠0，解得x≠4，所以函数y＝2的定义域为{x∈R|x≠4}．

因为≠0，所以2≠1，

即函数y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}．

(3)定义域为R.

∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，

∴22x－x2≤2.即y≤2.

故函数的值域为(0,2]．

关键能力综合练

1．解析：设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝x的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝x的图象关于y轴对称，选C.

答案：C

2．解析：由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.

答案：C

3．解析：当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图象必过点(－1，0)．

答案：C

4．解析：当a>1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a>1，此时两函数的图象大致为选项A.

答案：A

5．解析：函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象是由函数y＝ax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax(0<a<1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b－1<－1⇒b<0.故选C.

答案：C

6．解析：由于0<m<n<1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.

答案：C

7．解析：∵f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，

∴a＋a2＝6，即a2＋a－6＝0，

∴a＝2或a＝－3(舍)．

答案：2

8．解析：由x<0，得0<2x<1；由x>0，∴－x<0,0<2－x<1，∴－1<－2－x<0，∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．

答案：(－1,0)∪(0,1)

9．解析：显然定义域为R.

令2x＝t(t>0)，

则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2，

该函数在t∈(0，＋∞)上递增，所以y>1，

即原函数的值域为(1，＋∞)．

答案：R　(1，＋∞)

10．解析：当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)为减函数，所以无解．当a＞1时，函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)为增函数，所以解得a＝.

综上，a的值为.

学科素养升级练

1．解析：指数函数y＝ax在区间[－1,1]上的最大值和最小值的和为，

当a>1时，可得ymin＝，ymax＝a，

那么＋a＝，解得a＝2，

当0<a<1时，可得ymax＝，ymin＝a，

那么＋a＝，解得a＝，

故a的值可能是或2.

故选AB.

答案：AB

2．解析：f(x)＝＝由指数函数的图象知B正确．

答案：B

3．解析：(1)f(x)的图象过点(2,0)，(0，－2)，

所以

又因为a＞0，且a≠1，所以a＝，b＝－3.

(2)f(x)单调递减，所以0＜a＜1，又f(0)＜0.

即a0＋b＜0，所以b＜－1.

故a的取值范围为(0,1)，b的取值范围为(－∞，－1)．

(3)画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3.故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．