高中数学湘教版（2019）必修 第二册2.2 二倍角的三角函数课后复习题

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2.2二倍角的三角函数同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 若点在角的终边上，则 

A.  B.  C.  D.

2. 已知是第二象限角，且，则   

A.  B.  C.  D.

3. 已知是第二象限的角，，则   

A.  B.  C.  D.

4. 直线过点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线的方程为  

A.  B.
C.  D.

5. 若，则   

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，则     

A.  B.  C.  D.

7. 已知角满足，则 

A. 或 B.  C. 或 D.

8. 已知，则的值为 

A.  B.  C.  D.

9. 已知，则 

A.  B.  C.  D.

10. 函数的零点是

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

11. 若，则 

A.  B.  C.  D.

12. 已知，则等于

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中，，较小的锐角若，正方形的面积为，则          ，          ．
14. 已知则          ，          ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴非负半轴和轴的非负半轴上滑动，顶点在第一象限内，，，设若，则点的坐标为          ；若，则的取值范围为          ．
     

16. 在锐角中，内角所对的边分别是，，，则          ．的取值范围是          ．
17. 已知，，则          ，          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 设函数，．
    已知，函数是偶函数，求的值；
    求函数的值域．
    
    
    
    
    
    
     
19. 在，，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．

已知中，，，分别为内角，，的对边，，，________，求角及的面积．






 

20. 在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．
    Ⅰ求角的大小；
    Ⅱ求的值；
    Ⅲ求的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知．
    求的值；
    若，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 设．
    求的单调减区间；
    在锐角中，角，，的对边分别为，，若，，求面积的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 在中，．
    求的值； 
    求的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及倍角公式的应用，属于基础题．
利用任意角的三角函数的定义求得，的值，再由倍角公式求的值．

【解答】解：点在角的终边上，
，
则，，
．
故选B．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式，属基础题．
根据条件求出，再利用二倍角公式即可求出结果．

【解答】

解：是第二象限角，且，

所以，

则．

故选D．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查诱导公式、同角三角函数之间的关系及二倍角公式，为基础题．
利用诱导公式可得的值，再利用同角三角函数之间的关系及二倍角公式可求得结果．
【解答】
解：由题意得，
因此
．
故选A．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了直线方程的求法，属于基础题．关键是倾斜角的二倍和斜率的关系互化．
先求直线的斜率，进而转化为倾斜角，用二倍角公式求过点的直线的斜率，再求解直线方程．

【解答】

解：直线的斜率为，倾斜角为，
所以，
过点的倾斜角为，
其斜率为，
故所求直线方程为，
即．
故选C．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查同角三角函数关系、诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式的应用，属于基础题．
由通过辅助角公式得到，
再通过诱导公式以及二倍角公式，得到，解得的值即可．
【解答】
解：因为，
所以

所以，
即，
则，所以，解得，
故选A．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
由二倍角公式化简已知条件可得，结合角的范围可求得，，可得，根据同角三角函数基本关系式即可解得的值．

【解答】

解：，
由二倍角公式可得，
，，，
，
则有，
解得．
故选B．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二倍角公式及同角三角函数的基本关系，考查“弦化切”，属于基础题．
由得，即可求解的值．
【解答】
解：因为，所以，
则，解得或．
故选A．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，属于基础题．
根据二倍角公式得到，再利用诱导公式得到，即可得解．

【解答】

解：
，
所以
，
故选D．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了诱导公式和二倍角公式的应用，属于基础题．
根据诱导公式，可得的值，再结合诱导公式和二倍角公式，可得出结果．

【解答】
解：，
，


，
故选A．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】本题主要考查二倍角公式及常见的三角函数值，属基础题．
由二倍角公式化简得，再由特殊角的三角函数可解．

【解答】解：令，得，
即，
即，
，
，
又，
或，
故选C．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系及二倍角公式的运用，属于基础题．
利用同角三角函数关系和二倍角公式将弦化切，再代值计算即可．
【解答】
解：

．
故选A．  

12.【答案】
 

【解析】解：由已知得
，
即，
．
故选：
根据诱导公式和二倍角公式，以及两角差的正切公式计算即可．
本题考查了诱导公式和二倍角公式，以及两角差的正切公式，属于基础题．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题重点考查二倍角公式和同角三角函数的基本关系，属于中档题．
根据题意求出，，再利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系即可求解．

【解答】

解：由题意得，且
解得
故，
所以，
故，
由题意，知，则，
故
，
故答案为：．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了二倍角的余弦公式、辅助角公式，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题．
根据已知条件利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式对式子进行化简成形式，即可求出、的值．
【解答】
解：
，
所以；
故答案为： ；．

15.【答案】 ；

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的坐标运算，属于较难题．
确定，，，的坐标，然后借助向量的坐标运算以及三角函数性质求解即可．

【解答】

解：由题意可知若，则，
，
则，
则
由题意可知，，，
则 
，
又 ，则
则
故答案为；．

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查正弦定理，综合运用三角恒等变换知识是解题关键，属于中档题．
由正弦定理可得的值；由正弦定理可以把表示为角的函数，由锐角三角形得出角的取值范围，进而可得的取值范围．
【解答】
解：因为，，由正弦定理，可得，
则．
由，
可得：，，
所以

．
由是锐角三角形，可得：，，
则，
所以，可得．
所以．
故答案为：；  

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查考查三角公式在解题中的应用，属于中档题．
根据已知条件求出，再利用二倍角的正切公式可求得；将已知的两个公式分别平方再相加，结合两角差的余弦公式即可求得．

【解答】

解：由  ，  ，
得   ，  ，

两式相除得，

则．

    ，

    ，
两式相加得    ，

则    ．

故答案为．

18.【答案】解：由，
得，
为偶函数，，
，或，





，
，，
，
函数的值域为：．
 

【解析】本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属中档题．
函数是偶函数，则，根据的范围可得结果；
化简函数得，然后根据的范围求值域即可．
 

19.【答案】解：选：
因为，

所以，由正弦定理得，

即，
因为，，
所以，

因为，所以或．

若，由，

而，，从而，矛盾，舍去．

故C．

设外接圆的半径为，则由正弦定理得，

所以，，
所以，

所以．
选：

因为，

所以，

即，

，

所以或舍，

因为，所以．
以下同解法．

选

由及正弦定理得，

即，

由余弦定理得，

因为，所以．

以下同解法．

【解析】本题考查三角恒等变换，考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，属于中档题．
选：由正弦定理得，可得，检验可得，设外接圆的半径为，则由正弦定理得，求得，根据可求得的面积；
选：根据三角恒等变换化简可得，解得，可得角，以下同解法．
选：由正弦定理得，结合余弦定理可得，可求得角，以下同解法．
 

20.【答案】解：Ⅰ由余弦定理以及，，，
则，
，
；
Ⅱ由正弦定理，以及，，，
可得；
Ⅲ由，及，可得，
则，
，
．
 

【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．
Ⅰ根据余弦定理即可求出的大小；
Ⅱ根据正弦定理即可求出的值；
Ⅲ根据同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．
 

21.【答案】解：由已知得，
．
，，
又，则，，
故．
 

【解析】由已知得，
利用平方关系，商关系把化成的形式，进而求解．
利用正切的倍角公式，解方程可求的值．
本题考查三角函数基本关系式，倍角公式进行三角函数变形化简求值，属于基础题．
 

22.【答案】解：Ⅰ，
，
．
令：，
解得：，
所以函数的单调递减区间为：．
Ⅱ在锐角中，角，，的对边分别为，，若，，
所以：，
，
由余弦定理得：，
由于，
．
所以：，
即面积的最大值为：．
 

【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．属于基础题型．
Ⅰ首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调递减区间．
Ⅱ首先利用锐角三角形求出的值，进一步利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，最后求出三角形面积的最大值．
 

23.【答案】解：在中，，
，
；
，
，

．
 

【解析】本题考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式．
求出，利用和角的正弦公式即可求出结果；
利用二倍角公式，求出，，利用差角的余弦公式即可求出结果．