高中数学湘教版（2019）必修 第二册1.7 平面向量的应用举例优秀作业ppt课件

1.7　平面向量的应用举例

必备知识基础练

1.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=(　　)

A.- B. C.0 D.

答案B

解析如图建立平面直角坐标系,

则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),

∴=(-3,-4),=(3,-4).又∠BDC为的夹角,

∴cos∠BDC=.

2.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为(　　)

A.40 N B.10 N

C.20 N D. N

答案B

解析对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°,合力的大小为20 N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10 N;当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10 N.

3.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为(　　)

A.10 m/s B.2 m/s

C.4 m/s D.12 m/s

答案B

解析由题意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意图如图.∴|v|==2(m/s).

4.

(2021湖北武汉期中)体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分,某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为360 N,则该学生的体重m(单位:kg)约为(　　)(参考数据:取重力加速度大小g=10 m/s2,=1.732)

A.64 B.62

C.76 D.60

答案B

解析设两只胳膊的拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|=360 N,<F1,F2>=60°,∴|F1+F2|==360≈624(N),

∴mg≈624,∴m≈62.故选B.

5.(多选题)已知O是四边形ABCD内一点,若=0,则下列结论错误的是(　　)

A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心

B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点

C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心

D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点

答案ABC

解析由=0知,=-().设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点.

6.一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m,且力F所做的功W=250 J,则F与s的夹角等于　　　　　. 

答案

解析设F与s的夹角为θ,由W=F·s,得250=10×50×cos θ,∴cos θ=.

又θ∈[0,π],∴θ=.

7.某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向.

解设v1表示20 km/h的速度,在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人以v1速度行驶时所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1.

如图,令=-v1,=-2v1,实际风速为v.

∵,

∴=v-v1.

这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度.∵,

∴=v-2v1.

这就是当车的速度为40 km/h时,骑车人感觉到的风速.

由题意,得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,

∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°,

∴DA=DC=BC.∴|v|=20 km/h.

∴实际风速的大小是20 km/h,为东南风.

关键能力提升练

8.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则的值为(　　)

A.- B.

C.- D.

答案A

解析因为3+4+5=0,

所以3+4=-5,

所以9+24+16=25.

因为A,B,C在圆上,

所以||=||=||=1.

代入原式得=0,

所以=-(3+4)·()=-(3+4-3-4)=-.

9.(2020武汉检测)O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点.若()·()=()·()=0,则O为△ABC的(　　)

A.内心 B.外心

C.重心 D.垂心

答案B

解析因为()·()=0,

则()·()=0,

所以||2-||2=0,

所以||=||.

同理可得||=||,

即||=||=||,

所以O为△ABC的外心.

10.(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项中,其中正确的是              (　　)

A.绳子的拉力不断增大

B.绳子的拉力不断变小

C.船的浮力不断变小

D.船的浮力保持不变

答案AC

解析设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳AB与水平方向夹角为θ0<θ<,

则|F|cos θ=|f|,∴|F|=.

∵θ增大,cos θ减小,∴|F|增大.

∵|F|sin θ增大,∴船的浮力减小.

11.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速是　　　　　 km/h. 

答案2

解析如图,

用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.由图知,||=4,||=8,

则∠AOB=60°.又|v2|=2,

∴|v1|=|v2|·tan 60°=2.

即河水的流速是2 km/h.

12.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.

证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,

设A(0,2),C(2,0),

则D(1,0),=(2,-2).

设=λ,则=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又=(-1,2),由题设,所以=0,

所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=.

所以.

所以.

又=(1,0),

所以cos∠ADB=,cos∠FDC=,

又∠ADB,∠FDC∈(0,π),

所以∠ADB=∠FDC.

13.已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点Q从Q0(-2,-1)开始,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设P,Q在t=0 s时分别在P0,Q0处,当时所需的时间t为多少秒?

解e1+e2=(1,1),|e1+e2|=,其单位向量为;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=,其单位向量为.依题意知,||=t,||=t,

∴=|=(t,t),=||=(3t,2t),

由P0(-1,2),Q0(-2,-1),得P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),∴=(-1,-3),=(2t-1,t-3),

∵,∴=0,

即2t-1+3t-9=0,

解得t=2.

即当时所需的时间为2 s.

学科素养创新练

14.如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.

证明设=a,=b,=e,=c,=d,

则a=e+c,b=e+d,

所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.

由已知可得a2-b2=c2-d2,

所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,

所以e·(c-d)=0.

因为=d-c,

所以=e·(d-c)=0,

所以,

即AD⊥BC.