数学湘教版（2019）第2章 三角恒等变换2.1 两角和与差的三角函数公开课作业ppt课件

2.1.3　两角和与差的正切公式

必备知识基础练

1.化简等于(　　)

A. B. C.3 D.1

答案A

解析=tan(45°+15°)=tan 60°=.

2.已知tan α=,tan β=,且角α,β为锐角,则α+β的值是(　　)

A. B.

C. D.

答案C

3.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两根,则tan C等于(　　)

A.2 B.-2 C.4 D.-4

答案A

4.已知tanα-=,则tan α=(　　)

A. B.- C.5 D.-5

答案B

解析tanα-=,解得tan α=-,故选B.

5.已知tan,tan=-,则tan的值为(　　)

A. B. C. D.1

答案D

解析tan=tanα+β+-β-==1.

6.已知∠A,∠B都是锐角,且(1+tan A)(1+tan B)=2,则∠A+∠B=　　　　　. 

答案

解析(1+tan A)(1+tan B)=1+tan Atan B+tan A+tan B=2,

∴tan Atan B=1-(tan A+tan B).

∴tan(A+B)==1.∵∠A,∠B都是锐角,∴0<∠A+∠B<π,

∴∠A+∠B=.

7.在非直角三角形中,求证:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.

证明∵∠A+∠B+∠C=π,

∴∠A+∠B=π-∠C.

∴tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,

即=-tan C.

∴tan A+tan B=-tan C+tan Atan Btan C,

∴tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.

关键能力提升练

8.若tan(α+β)=,tan(α-β)=,则tan 2α= (　　)

A. B. C. D.

答案D

解析tan 2α=tan [(α+β)+(α-β)]=.

9.设α∈,β∈,且tan α=,则 (　　)

A.3α-β= B.3α+β=

C.2α-β= D.2α+β=

答案C

解析由tan α=,得,得sin αcos β-cos αsin β=cos α,sin(α-β)=sin.

又α∈,β∈,故α-β=-α,

即2α-β=.

10.(2021北京朝阳高一期末)已知tanα-=2,tan(α+β)=-3,则tanβ+=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案A

解析因为α-+β+=α+β,

所以tan(α+β)=tanα-+β+==-3,解得tanβ+=1.故选A.

11.在△ABC中,tan A+tan B+tan C=3,tan2B=tan A·tan C,则角B等于(　　)

A.30° B.45° C.120° D.60°

答案D

解析由两角和的正切公式变形得

tan A+tan B=tan(A+B)(1-tan Atan B)

=tan(180°-C)(1-tan Atan B)

=-tan C(1-tan Atan B)

=-tan C+tan Atan Btan C,

∴tan A+tan B+tan C

=-tan C+tan Atan Btan C+tan C

=tan Atan Btan C=3.

∵tan2B=tan Atan C,

∴tan3B=3.

∴tan B=.

∴∠B=60°.故选D.

12.(多选题)在△ABC中,∠C=120°,tan A+tan B=,下列各式正确的是(　　)

A.∠A+∠B=2∠C B.tan(A+B)=-

C.tan A=tan B D.cos B=sin A

答案CD

解析∵∠C=120°,∴∠A+∠B=60°,

∴2(∠A+∠B)=∠C,

∴tan(A+B)=,∴选项A,B错误;

∵tan A+tan B=(1-tan A·tan B)=,

∴tan A·tan B=, ①

又tan A+tan B=, ②

∴联立①②解得tan A=tan B=,

∴cos B=sin A,故选项C,D正确.

13.已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则tan(α+β)=　　　　　,α+β=　　　　　. 

答案-1　

解析因为(tan α-1)(tan β-1)=2,

所以tan α+tan β=tan αtan β-1.

因此tan(α+β)==-1,

因为α+β∈(0,π),所以α+β=.

14.已知α,β均为锐角,且tan β=,求tan(α+β)的值.

解tan β==tan,

因为α,β均为锐角,所以--α<,0<β<,

又y=tan x在上是单调递增的,

所以β=-α,即α+β=,tan(α+β)=1.

学科素养创新练

15.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的取值范围是　　　　. 

答案[8,+∞)

解析由已知条件sin A=2sin Bsin C,

∵sin(B+C)=2sin Bsin C,

∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,

两边同除以cos Bcos C,tan B+tan C=2tan Btan C,

∵-tan A=tan(B+C)=,

∴tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C.

∴tan Atan Btan C=tan A+2tan Btan C

≥2,

令tan Atan Btan C=x,易知x>0.

即x≥2,即x≥8,或x≤0(舍去),

∴x的最小值为8.

当且仅当tan B=2+,tan C=2-,tan A=4(或tan B,tan C互换)时取等号,此时A,B,C均为锐角.可得tan Atan Btan C的取值范围是[8,+∞).