高中数学湘教版（2019）必修 第二册2.1 两角和与差的三角函数一课一练

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第二册2.1 两角和与差的三角函数一课一练，共13页。试卷主要包含了1　两角和与差的三角函数，cs 5π12的值为等内容，欢迎下载使用。

2.1.1 两角和与差的余弦公式
2.1.2 两角和与差的正弦公式
2.1.3 两角和与差的正切公式
基础过关练
题组一 利用两角和与差的三角函数公式解决求值问题
1.cs 5π12的值为( )

A.6++24
2.在△ABC中,A=π4,cs B=1010,则sin C=( )
3.(2020山东潍坊诸城高一下期中)已知A,B为锐角,cs A=35,cs B=513,则cs(A+B)=( )
4.(2020辽宁辽阳高一下期末)已知点P(1,3)是角α终边上的一点,则tanα+π4= .
5.已知cs θ=130<θ<π2,则sinθ+π4的值为 ,sinθ-π6的值为 .
6.已知α,β均为锐角,sin α=13,cs(α+β)=45.
(1)求csα-π3的值;
(2)求sin β的值.
题组二 利用两角和与差的三角函数公式解决求角问题
7.(2020辽宁省实验中学高一下期中)已知α,β∈-π2,π2,若tan α,tan β是方程x2-43x+5=0的两实根,则α+β=( )
A.-π3或2π3B.-π3C.2π3D.5π6
8.已知锐角α,β满足sin α=255,cs β=1010,则α+β= .
9.如图是由三个正方形拼接而成的长方形,则α+β+γ等于 .
10.设α,β为钝角,且sin α=55,cs β=-31010,则α+β的值为 .
题组三 利用两角和与差的三角函数公式进行化简
11.(2020福建厦门高一下期末)化简sin 15°cs 5°-cs 15°sin 5°的结果为( )
A.sin 10°B.cs 10°C.sin 20°D.cs 20°
12.已知α+β=5π4,则(1+tan α)·(1+tan β)=( )
A.-1B.-2C.2D.3
13.函数f(x)=sinx+π3+sinx-π3,则f(x)( )
A.是奇函数B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数
14.“在△ABC中,cs Acs B= +sin Asin B”,已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a,这时C是直角;乙同学在横线处填上一个实数b,这时C是锐角;丙同学在横线处填上一个实数c,这时C是钝角.则实数a,b,c的大小关系是 .(用“<”连接)
能力提升练

题组一 利用两角和与差的三角函数公式解决求值问题
1.(2020山东聊城高一下期末质量检测,)角α的终边与单位圆的交点坐标为32,12,将α的终边绕原点顺时针旋转3π4后得到角β,则cs(α+β)=( )
A.6-24B.6+24C.3-14D.0
2.(2020辽宁锦州高一下期末,)定义运算:a bc d=ad-bc.已知α,β都是锐角,且cs α=55,sinα sinβcsαcsβ=-1010,则cs β=( )

3.(2020安徽黄山高一下期末,)已知α是第二象限角,且sin α=45,tan(α+β)=-3,则tan β= .
4.(2020浙江温州九校联盟高一上期末,)已知csα-π4=35,且α∈-π4,π4,则sinα-π4= ,sin α= .
5.(2020山西大同一中高一期末,)已知sinα+π6=45,-π6<α<π3,求:
(1)csα-π3的值;
(2)cs α的值.
题组二 利用两角和与差的三角函数公式解决求角问题
6.(2020天津一中高一上期末,)已知0<β<α<π2,点P(1,43)为角α终边上一点,且sin αsinπ2-β+cs αcsπ2+β=3314,则角β=( )
A.π12B.π6C.π4D.π3
7.(2020浙江丽水高一下期末,)已知α∈0,π2,β∈-π2,0,sin β=-210,且cs(α-β)=35,则α的值为( )
A.π6B.π4C.π3D.5π12
8.(2020河南林州一中高一上期末,)已知tan(α-β)=-7,cs α=-55,其中α∈(0,π),β∈(0,π).求:
(1)tan β的值;
(2)α+β的值.
9.()在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A55,255,B-7210,210两点.
(1)求cs(α+β)的值;
(2)若α∈0,π2,β∈π2,π,求2α-β的值.
题组三 两角和与差的三角函数公式的综合应用
10.(多选)()在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=233,则下列各式正确的是( )
A.A+B=2CB.tan(A+B)=-3
C.tan A=tan BD.cs B=3sin A
11.(2020辽宁省实验中学高一下期中,)在△ABC中,若2sin Asin B=1+cs C,则该三角形的形状一定是 .
答案全解全析
基础过关练
1.C cs 5π12=csπ6+π4=cs π6cs π4-sin π6sin π4=32×22-12×22=6-24.
2.A 因为cs B=1010且B为三角形的内角,所以sin B=31010.又A=π4,所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin π4cs B+cs π4sin B=22×1010+22×31010=255.
3.C ∵A,B为锐角,cs A=35,cs B=513,
∴sin A=1-cs2A=45,sin B=1-cs2B=1213,
∴cs(A+B)=cs Acs B-sin Asin B=35×513-45×1213=-3365.故选C.
4.答案 -2
解析 根据题意知,tan α=31=3,
则tanα+π4=tanα+tan π41-tanα·tan π4=3+11-3×1=-2.
5.答案 4+26;26-16
解析 因为cs θ=130<θ<π2,
所以sin θ=1-cs2θ=223,
所以sinθ+π4=sin θcsπ4+cs θsinπ4
=223×22+13×22=4+26,
sinθ-π6=sin θcsπ6-cs θsinπ6
=223×32-13×12=26-16.
6.解析 (1)∵α为锐角,sin α=13,
∴cs α=1-sin2α=223,
∴csα-π3=cs αcs π3+sin αsinπ3=223×12+13×32=22+36.
(2)∵α,β均为锐角,∴α+β∈(0,π),
∵cs(α+β)=45,
∴sin(α+β)=1-cs2(α+β)=35,
∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cs α-cs(α+β)sin α=35×223-45×13=62-415.
7.C 因为tan α,tan β是方程x2-43x+5=0的两实根,所以tan α+tan β=43,tan α·tan β=5,所以tan α,tan β均为正数,又α,β∈-π2,π2,所以α,β∈0,π2,
所以α+β∈(0,π).
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα·tanβ=431-5=-3.又α+β∈(0,π),所以α+β=2π3.
故选C.
8.答案 3π4
解析 ∵α,β为锐角,sin α=255,cs β=1010,
∴0<α+β<π,cs α=55,sin β=31010.
∴cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β
=55×1010-255×31010=-22.
又∵0<α+β<π,∴α+β=3π4.
9.答案 π2
解析 由题图易知α,β均为锐角,tan α=13,tan β=12,γ=π4,∴α+β∈(0,π),tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=1,
∴α+β=π4,所以α+β+γ=π2.
10.答案 7π4
解析 ∵π2<α<π,π2<β<π且sin α=55,cs β=-31010,
∴π<α+β<2π,cs α=-255,sin β=1010,
∴cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β=-255×-31010-55×1010=325-210=22.
∵π<α+β<2π,
∴α+β=7π4.
11.A sin 15°cs 5°-cs 15°sin 5°=sin(15°-5°)=sin 10°.故选A.
12.C ∵α+β=5π4,∴tan(α+β)=1,
∴tan α+tan β=1-tan α·tan β,
∴(1+tan α)·(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan α·tan β=1+1-tan α·tan β+tan α·tan β=2.
13.A ∵f(x)=sinx+π3+sinx-π3=12sin x+32cs x+12sin x-32cs x=sin x,
且f(x)的定义域为R,
∴f(x)为奇函数.
14.答案 b解析 由题意得,横线处的实数等于cs(A+B),即cs(π-C),故当C是直角时,a=cs(π-C)=cs π2=0;当C是锐角时,-1能力提升练
1.A 由角α的终边经过点32,12,
得sin α=12,cs α=32,
因为角β的终边是由角α的终边绕原点顺时针旋转3π4得到的,
所以sin β=sinα-3π4=sin αcs 3π4-cs αsin 3π4=12×-22-32×22=-2-64,
cs β=csα-3π4=cs αcs 3π4+sin α·sin 3π4=32×-22+12×22=2-64,
所以cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β=32×2-64-12×-2-64=6-24,故选A.
2.B 因为α,β都是锐角,所以0<β<π2,-π2<-α<0,-π2<β-α<π2,
因为sinα sinβcsαcsβ=-1010,
所以sin αcs β-cs αsin β=-1010,
即sin(α-β)=-1010,所以sin(β-α)=1010,所以0<β-α<π2,所以cs(β-α)=1-sin2(β-α)=1-10102=31010,
因为cs α=55,所以sin α=1-cs2α=1-552=255,所以cs β=cs[(β-α)+α]=cs(β-α)cs α-sin(β-α)sin α
=31010×55-1010×255=210.故选B.
3.答案 -13
解析 由α是第二象限角,且sin α=45,得cs α=-35,tan α=-43,
由tan(α+β)=-3,得tanα+tanβ1-tanα·tanβ=-3,代入tan α=-43,得tan β=-13.
4.答案 -45;-210
解析 由-π4<α<π4得-π2<α-π4<0,
所以sinα-π4=-1-cs2α-π4=-45,
所以sin α=sinα-π4+π4
=sinα-π4csπ4+csα-π4sinπ4
=-210.
5.解析 (1)csα-π3=csα+π6-π2
=sinα+π6=45.
(2)∵-π6<α<π3,
∴0<α+π6<π2,
∵sinα+π6=45,
∴csα+π6=1-sin2α+π6=35,
∴cs α=csα+π6-π6=csα+π6·csπ6+sinα+π6sinπ6=4+3310.
6.D 由题意知|OP|=7(O为坐标原点),
∴sin α=437,cs α=17.
由sin αsinπ2-β+cs αcsπ2+β=3314,得sin αcs β-cs αsin β=3314,
∴sin(α-β)=3314.
∵0<β<α<π2,∴0<α-β<π2,
∴cs(α-β)=1-sin2(α-β)=1314,
∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcs(α-β)-cs αsin(α-β)=437×1314-17×3314=32.
∵0<β<π2,∴β=π3,故选D.
7.B 因为β∈-π2,0,sin β=-210,
所以cs β=7210.
因为α∈0,π2,β∈-π2,0,
所以α-β∈(0,π),
因为cs(α-β)=35,所以sin(α-β)=45,
所以sin α=sin(α-β+β)
=sin(α-β)cs β+cs(α-β)sin β
=45×7210+35×-210=22,
因为α∈0,π2,所以α=π4,故选B.
8.解析 (1)因为cs α=-55,α∈(0,π),
所以sin α=1-cs2α=255,
因此tan α=sinαcsα=-2,
故tan β=tan[α-(α-β)]
=tanα-tan(α-β)1+tanα·tan(α-β)=13.
(2)易知tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ
=-2+131-(-2)×13=-1.
因为cs α=-55<0,α∈(0,π),所以α∈π2,π,因为tan β=13>0,β∈(0,π),所以β∈0,π2,
从而α+β∈π2,3π2,因此α+β=3π4.
9.解析 (1)由A55,255,B-7210,210,得cs α=55,sin α=255,cs β=-7210,sin β=210,
则cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β=55×-7210-255×210=-91050.
(2)由已知得cs 2α=cs(α+α)=cs α·cs α-sin αsin α=-35,sin 2α=sin αcs α+cs αsin α=45.
∵cs 2α<0,α∈0,π2,∴2α∈π2,π.∵β∈π2,π,∴2α-β∈-π2,π2.
∴sin(2α-β)=sin 2αcs β-cs 2αsin β
=45×-7210--35×210=-22,
∴2α-β=-π4.
10.CD ∵C=120°,∴A+B=60°,
∴2(A+B)=C,即A+B=12C,
∴tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=2331-tanAtanB=tan 60°=3,故tan Atan B=13,
又tan A+tan B=233,
∴tan A=tan B=33,∴A=B=30°,
∴cs B=3sin A.
综上,A,B均错误,C,D均正确.故选CD.
11.答案 等腰三角形
解析 ∵1+cs C=1-cs(A+B)=1-cs Acs B+sin Asin B=2sin Asin B,
∴sin Asin B+cs Acs B=1,即cs(A-B)=1,∵0∴△ABC一定为等腰三角形.