高中数学3.1 复数的概念巩固练习

绝密★启用前

3.1复数的概念同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知复数满足：为虚数单位，且在复平面内对应的点位于第三象限，则复数的虚部为   

A.  B.  C.  D.

2. 若，其中，为虚数单位，则复数的虚部为   

A.  B.  C.  D.

3. 复数满足，则

A.  B.  C.  D.

4. 若复数的共轭复数为且满足，则复数的实部为   

A.  B.  C.  D.

5. 已知复数满足，则 

A.  B.  C.  D.

6. 若复数满足，其中为虚数单位，则的实部为   

A.  B.  C.  D.

7. 若复数满足 ，则关于复数的说法正确的是   

A. 复数的实部为
B. 复数的虚部为
C. 复数的模长为
D. 复数对应的复平面上的点在第一象限

8. 若，则实数   

A.  B.  C.  D.

9. 下列命题中，错误命题的个数为

两个复数一定不能比较大小；

，，，若，则；

若是纯虚数，则实数；

是虚数的一个充要条件是；

若，是两个相等的实数，则是纯虚数；

复数的一个充要条件是．

A.  B.  C.  D.

10. 若复数满足，则复数的实部为   

A.  B.  C.  D.

11. 已知，，，则下列结论错误的是   

A. 的虚部是 B.
C.  D. 对应的点在第二象限

12. 下列命题中，真命题的个数是
    若，则的充要条件是；
    若且，则；
    若，则．

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 已知复数满足，其中为虚数单位，则      ，复数的实部为      ．
14. 已知，则当      时，为实数；当      时，为纯虚数．
15. 在复数范围内，的所有平方根为          ，并由此写出的一个四次方根          。
16. 已知复数满足为虚数单位，则的虚部是          ，          
17. 为了解决“一元二次方程中无实根”的问题，瑞士数学家欧拉于年引入了一个新数“”，使“”，于是在时也有求根公式：“”，从而解决了世纪意大利数学家卡丹在其著作大术中提出的问题：“将分成两个数，使它们的乘积等于”，则这两个数分别为：          ，          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 已知复数，是实数．

求复数；

若复数是关于的方程的根，求实数和的值．






 

19. Ⅰ已知复数在复平面内对应的点在第二象限，，且，求；

Ⅱ已知复数为纯虚数，求实数的值．






 

20. 已知复数．

求复数的实部和虚部．

若，求实数，的值．






 

21. 已知复数为虚数单位．

若是纯虚数，求实数的值；

若，设，试求．






 

22. 已知复数．

Ⅰ当实数为何值时，复数为实数；

Ⅱ若实数，且为的共轭复数，求实数，的值．






 

23. 已知是复数，和都是实数．

求复数；

设关于的方程有实根，求纯虚数．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查复数的概念和共轭复数，复数的运算及复数相等的充要条件， 是基础题．
先设，已知，列方程组，又在复平面内对应的点位于第三象限，可得，；再结合共轭复数性质及可求解．
【解答】
解：设，，

，，，，，

，故复数的虚部为．
故选C．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查复数的概念，复数相等的充要条件，复数的四则运算，属于基础题对化简，由复数相等的充要条件可得，，故，利用复数的概念即可求解．
【解答】
解：，
则，，
故的虚部为，
故选C．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查复数的基本概念，复数相等的充要条件，复数的模，是基础题．
设出复数，即可得到，利用复数相等得到，求解即可得到复数．
【解答】
解：设，
由已知，
由复数相等可得，
，
故，
故选A．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了复数的相等的条件，运算法则、共轭复数的定义、实数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义、及复数相等的条件列出关于，的方程组，求得，的值，根据实数的定义得出答案．
【解答】
设，，，
则，，，
，
，
，
，
，
解得，，
复数的实部为．
故选D．  

5.【答案】
 

【解析】略
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数相等和复数的概念，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设，代入，利用复数相等求出，即可求得实部．
【解答】
解：设，则
，
，即，
，解得，．
．
故的实部为
故选：．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查复数的概念，复数的模，复数相等充要条件，共轭复数，复数的几何意义及复数的运算，属基础题．
设，根据复数的乘法运算求出，由复数的概念及复数的几何意义即可得出结果．
【解答】
解：设，
则，
化简得，
根据对应相等得：
解得，，
，，
复数对应的复平面上的点在第四象限，
故选A．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了复数的概念，复数相等的充要条件和复数的四则运算，是基础题．
利用复数的四则运算得，再利用复数的概念及相等的充要条件得结论．
【解答】
解：由得，
而为实数，因此．
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题综合考查了纯虚数、复数的性质、复数相等、复数运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，属于基础题．
由题意，根据复数的概念、复数相等、复数的四则运算逐项分析判断，即可得出结论．
【解答】
解：两个复数不都是实数时不能比较大小，故错误；  
，，，若，取，，满足等式，但是，故错误； 
时，此数，不是纯虚数，故错误； 
是虚数的一个必要条件是，故错误； 
若，是两个相等的实数，当时，不是纯虚数，故错误； 
当时，，反之亦成立，故正确 
综上可知：只有正确．
故选C．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了复数的相等的条件，运算法则、共轭复数的定义、实数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义、及复数相等的条件列出关于，的方程组，求得，的值，根据实数的定义得出答案．
【解答】
设，，，
则，，，
，
，
，
，
，
解得，，
复数的实部为．
故选D．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查复数相等，复数的模，共轭复数以及复数的几何意义，属于基础题．
利用复数相等求出，的值，化简复数，即可得出结论．
【解答】
解：由复数相等可得解得，

的虚部是，所以选项正确；
，所以选项正确；
，所以选项正确；

对应的点在虚轴上，所以选项不正确．
故选D．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查复数的概念，复数相等的充要条件，属于基础题．
根据复数的概念，复数相等的充要条件逐一分析判断即可．
【解答】
解：由可推出，但由于，，推不出，
比如，，有，故是成立的充分不必要条件，故错；
若，且，则、是两个虚数，几何意义是复平面上两个点，，
故不能比较大小，故错；
若，，，比如，，有，但，
只有，均为实数，才有，故错．
故正确命题的个数为．
故选：．  

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查复数的概念，复数的模的求法，考查计算能力，是基础题．
根据题意，进行求解即可．

【解答】

解：设，

则，

由复数相等的定义得

解得或

从而，
则复数的实部为，

故答案为；．

14.【答案】或

【解析】

【分析】
本题考查复数的概念和复数相等的充要条件，属于基础题．
复数为实数的充要条件是，为纯虚数的充要条件为且，解相应的方程组即可．

【解答】
解：要使为实数，
则虚部为，即，
解得或；
要使为纯虚数，
则，
解得，
故答案为或；．

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是中档题．
设，展开，由复数相等的条件列关于，的方程组，求解，的值得答案，同理求得的四次方根．
【解答】
解：设，
由，得，
，解得：或．
或，即的所有平方根为；
设，
由，得，
，解得：或
或，
设，
由，得，
，解得：或
或，
即的四次方根为，，，．
故答案为：；．  

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查复数的运算及概念，同时考查复数模的计算，属于基础题．
将已知转化为，再利用复数的除法求出，然后由复数的概念及模的计算公式求解即可．

【解答】

解：，
所以的虚部是，
．
故答案为 ．

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查复数的概念，考查一元二次方程的虚数根的求法，考查数学文化核心素养，属于容易题．
设其中的一个数为，另一个为，则，即，然后利用公式即可求解．
【解答】
解：由已知设其中的一个数为，则另一个数为，
依题意，，即．
，
利用求根公式：，可得：
．
可见，当时，；
当时，．
故答案为：；．  

18.【答案】解：因为，
可得，
又由是实数，可得，解得，
所以．
因为是方程的根，
所以，即，
可得
解得，．
 

【解析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数相等的条件，是基础题．
把代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为求得值，则可求；
把，代入方程整理后利用复数相等的条件列式求解，的值．
 

19.【答案】解：Ⅰ设，由题意得
解得，，
复数在复平面内对应的点在第二象限，．

Ⅱ

，
由题意得解得．
 

【解析】本题考查复数的基本概念、复数的运算，属于基础题．
Ⅰ，，根据复数模的公式以及复数相等，得到，的方程组，再结合在复平面内对应的点在第二象限，得到，的值，即可得到
Ⅱ通过复数的运算化简，再根据为纯虚数，得到的关系式，解得的值．
 

20.【答案】解：，
复数的实部为，虚部为．
由知，
代入，
得：，
，解得
所以实数，的值分别为，．
 

【解析】本题考查复数的代数形式的运算和复数相等的充要条件的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
由复数的运算法则，把复数等价转化为，能够得到复数的实部和虚部；
把代入，得：，由复数相等的充要条件，能够求出实数，的值．
 

21.【答案】解：若为纯虚数，则
解得．
若，则，



，
，，
故．
 

【解析】本题考查复数的有关概念、代数形式的运算及其复数相等的概念，属于基础题．
由纯虚数的定义可得方程组，解出可得的值；
，，对等式进行化简，由复数相等的条件可求与，从而得答案．
 

22.【答案】解：因为复数．

Ⅰ若复数为实数，则且，解得；

Ⅱ因为，则，由，可得，
即，
所以且，解得，．

【解析】本题考查复数的概念、共轭复数、复数相等的条件，属于基础题．

Ⅰ由复数为实数，则且，即可解答；

Ⅱ由题得，由利用复数相等的条件即可解答．

23.【答案】解：设，
则，，

若和都是实数，
则，解得，，

所以．

设，
则方程为，

即，
若方程有实数根，则，解得，，

所以，纯虚数．

【解析】本题考查复数的概念、四则运算和复数范围内方程的根及复数相等的充要条件，属于基础题．
设，则利用复数的运算法则和实数的概念得，解出，，即可得复数；
设，代入方程，得，解方程即可求得纯虚数．