数学必修 第二册2.3 简单的三角恒等变换练习

这是一份数学必修 第二册2.3 简单的三角恒等变换练习，共15页。试卷主要包含了cs2π12-cs25π12=等内容，欢迎下载使用。

考点1 两角和与差的三角函数公式的应用
1.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分,)已知O为坐标原点,点P1(cs α,sin α),P2(cs β,-sin β),P3(cs(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则( )
A.|OP1|=|OP2|B.|AP1|=|AP2|
C.OA·OP3=OP1·OP2D.OA·OP1=OP2·OP3
2.(2020全国Ⅲ文,5,5分,)已知sin θ+sinθ+π3=1,则sinθ+π6=( )
3.(2020全国Ⅲ理,9,5分,)已知2tan θ-tanθ+π4=7,则tan θ=( )
A.-2B.-1C.1D.2
4.(2018课标全国Ⅱ,15,5分,)已知sin α+cs β=1,cs α+sin β=0,则sin(α+β)= .
5.(2017课标全国Ⅰ,15,5分,)已知α∈0,π2,tan α=2,则csα-π4= .
考点2 二倍角公式的应用
6.(2021全国乙文,6,5分,)cs2π12-cs25π12=( )
7.(2021新高考Ⅰ,6,5分,)若tan θ=-2,则sinθ(1+sin2θ)sinθ+csθ=( )
A.-65B.-
8.(2021全国甲理,9,5分,)若α∈0,π2,tan 2α=csα2-sinα,则tan α=( )
9.(2019课标全国Ⅱ,10,5分,)已知α∈0,π2,2sin 2α=cs 2α+1,则sin α=( )
10.(2020江苏,8,5分,)已知sin2π4+α=23,则sin 2α的值是 .
11.(2020浙江,13,6分,)已知tan θ=2,则cs 2θ= ,tanθ-π4= .
12.(2019江苏,13,5分,)已知tanαtanα+π4=-23,则sin2α+π4的值是 .
考点3 三角恒等变换与三角函数性质的综合应用
13.(2018课标全国Ⅲ,6,5分,)函数f(x)=tanx1+tan2x的最小正周期为( )
A.π4B.π2C.πD.2π
14.(2018课标全国Ⅱ,10,5分,)若f(x)=cs x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是( )
A.π4B.π2C.3π4D.π
15.(2019北京,9,5分,)函数f(x)=sin22x的最小正周期是 .
16.(2020北京,14,5分,)若函数f(x)=sin(x+φ)+cs x的最大值为2,则常数φ的一个取值为 .
17.(2019浙江,18,14分,)设函数f(x)=sin x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
(2)求函数y=fx+π122+fx+π42的值域.
三年模拟练

1.(2021新疆乌鲁木齐七十中高一上期末,)若sinπ6-α=13,则cs2π3+2α=( )
2.(多选)(2021山东枣庄高一上期末,)设函数f(x)=sin2x+π4+cs2x+π4,则f(x)( )
A.是偶函数
B.在0,π2上单调递减
C.最大值为2
D.图象关于直线x=π2对称
3.(多选)(2020山东潍坊安丘实验中学高一下期中,)已知函数f(x)=|sin x|+|cs x|,则下列结论正确的是( )
A. f(x)为偶函数
B. f(x)的最小正周期为π2
C. f(x)的最大值为2
D. f(x)在π2,3π4上单调递增
4.(2021浙江杭州高级中学高一上期末,)函数y=cs x-sin2x-cs 2x+74的值域为 ;函数f(x)=3-sinx2+sinx的值域为 .
5.(2020北京西城高一上期末,)已知α∈0,π2,且sin α=35.
(1)求sinα-π4的值;
(2)求cs2α2+tanπ4+α的值.
6.(2020河南开封高一下期末联考,)已知函数f(x)=sin2ωx-π6-4sin2ωx+2(ω>0),其图象与x轴相邻的两个交点的距离为π2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象,g(x)的图象恰好经过点-π3,0,求当m取得最小值时,g(x)在-π6,7π12上的单调区间.
7.(2020北京人大附中高一下阶段检测,)如图1所示,一条直角走廊宽为a(a>0)m,位于水平地面上的一根铁棒EF在此直角走廊内.
(1)若∠PEF=θ,试求铁棒的长l;
(2)若铁棒EF能水平地通过此直角走廊,求此铁棒的最大长度;
(3)现有一辆转动灵活的矩形平板车ABCD,它的宽AD为b(0答案全解全析
五年高考练
1.AC A选项,∵|OP1|=cs2α+sin2α=1,|OP2|=cs2β+(-sinβ)2=1,∴|OP1|=|OP2|,A选项正确.
B选项,易知|AP1|=(csα-1)2+sin2α=2-2csα,
|AP2|=(csβ-1)2+(-sinβ)2=2-2csβ,由于α,β的大小关系不确定,因此不能确定|AP1|=|AP2|是否成立,B选项不正确.
C选项,∵OA·OP3=(1,0)·(cs(α+β),sin(α+β))=cs(α+β),
OP1·OP2=(cs α,sin α)·(cs β,-sin β)=cs αcs β-sin αsin β=cs(α+β),
∴OA·OP3=OP1·OP2,C选项正确.
D选项,∵OA·OP1=(1,0)·(cs α,sin α)=cs α,
OP2·OP3=(cs β,-sin β)·(cs(α+β),sin(α+β))
=cs β·cs(α+β)-sin β·sin(α+β)
=cs(β+α+β)
=cs(α+2β),
∴OA·OP1=OP2·OP3不一定成立.
D选项不正确.故选AC.
2.B ∵sin θ+sinθ+π3=sin θ+sin θcsπ3+cs θsinπ3=sin θ+12sin θ+32cs θ=32·sin θ+32cs θ=332sin θ+12cs θ=3sinθ+π6=1,
∴sinθ+π6=13=33,故选B.
3.D 2tan θ-tanθ+π4=2tan θ-tanθ+11-tanθ=7,整理可得tan2θ-4tan θ+4=0,∴tan θ=2.故选D.
4.答案 -12
解析 ∵sin α+cs β=1,cs α+sin β=0,
∴(1-sin α)2+(-cs α)2=1,∴sin α=12,∴cs β=12,
因此sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β=12×12-cs2α=14-1+sin2α=14-1+14=-12.
5.答案 31010
解析 由tan α=2得sin α=2cs α,
又sin2α+cs2α=1,所以cs2α=15.
因为α∈0,π2,
所以cs α=55,sin α=255.
所以csα-π4=cs αcsπ4+sin αsinπ4
=55×22+255×22=31010.
6.D 解法一:cs2π12-cs25π12=cs2π12-cs2π2-π12=cs2π12-sin2π12
=csπ6=32.
解法二:cs2π12-cs25π12
=cs2π4-π6-cs2π4+π6
=csπ4csπ6+sinπ4sinπ62-csπ4·csπ6-sinπ4sinπ62
=22×32+22×122-22×32-22×122
=6+242-6-242
=6+24+6-24×6+24-6-24=32.
7.C sinθ(1+sin2θ)sinθ+csθ
=sinθ(sin2θ+cs2θ+2sinθ·csθ)sinθ+csθ
=sinθ(sinθ+csθ)2sinθ+csθ
=sin θ(sin θ+cs θ)=sin2θ+sin θ·cs θ
=sin2θ+sinθ·csθsin2θ+cs2θ=tan2θ+tanθtan2θ+1
=(-2)2-2(-2)2+1=25.故选C.
8.A ∵tan 2α=csα2-sinα,
∴sin2αcs2α=csα2-sinα,
∴2sin 2α=cs αcs 2α+sin αsin 2α,
即4sin αcs α=cs(2α-α)=cs α,
又α∈0,π2,∴cs α≠0,
∴4sin α=1,∴sin α=14,∴cs α=154,
∴tan α=1515.故选A.
9.B 2sin 2α=cs 2α+1⇒4sin αcs α=2cs2α,因为α∈0,π2,所以cs α≠0,所以2sin α=cs α,代入sin2α+cs2α=1得sin2α=15,而α∈0,π2,所以sin α=55.
10.答案 13
解析 ∵sin2π4+α=1-csπ2+2α2=1+sin2α2=23,
∴sin 2α=13.
11.答案 -35;13
解析 因为tan θ=2,所以cs 2θ=cs2θ-sin2θ=cs2θ-sin2θcs2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=1-41+4=-35,
tanθ-π4=tanθ-tanπ41+tanθtanπ4=2-11+2=13.
12.答案 210
解析 由tanαtanα+π4=tanαtanα+11-tanα=-23,得3tan2α-5tan α-2=0,解得tan α=2或tan α=-13.
sin2α+π4=22(sin 2α+cs 2α)
=22×2sinαcsα+cs2α-sin2αsin2α+cs2α
=22×2tanα+1-tan2αtan2α+1,
将tan α=2或tan α=-13代入,得
sin2α+π4=210.
13.C 因为f(x)=tanx1+tan2x=sinxcsx1+sinxcsx2=sin xcs x=12sin 2x,所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.
14.A f(x)=cs x-sin x=2csx+π4,
令2kπ≤x+π4≤π+2kπ(k∈Z),得-π4+2kπ≤x≤3π4+2kπ(k∈Z).
由题意知a>0,
因此[-a,a]⊆-π4,3π4,
∴-a≥-π4,且a≤3π4,
∴015.答案 π2
解析 f(x)=sin22x=12-12cs 4x,所以函数f(x)=sin22x的最小正周期T=2π4=π2.
16.答案 π2(本题答案不唯一)
解析 ∵f(x)=sin(x+φ)+cs x的最大值为2,∴cs x=1,解得x=2kπ,k∈Z,且sin(x+φ)=sin(2kπ+φ)=sin φ=1,
∴φ=π2+2nπ,n∈Z,∴可取φ=π2.
17.解析 (1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin xcs θ+cs xsin θ=-sin xcs θ+cs xsin θ,
故2sin xcs θ=0,所以cs θ=0.
又θ∈[0,2π),所以θ=π2或3π2.
(2)y=fx+π122+fx+π42
=sin2x+π12+sin2x+π4
=1-cs2x+π62+1-cs2x+π22
=1-1232cs2x-32sin2x
=1-32cs2x+π3.
因此函数的值域是1-32,1+32.
三年模拟练
1.B ∵2π6-α+2π3+2α=π,
∴cs2π3+2α=csπ-2π6-α
=-cs2π6-α
=-1-2sin2π6-α
=-1-2×132=-79,故选B.
2.ABD f(x)=2sin2x+π4csπ4+cs2x+π4sinπ4
=2sin2x+π2=2cs 2x.
因此, f(x)是偶函数,A正确;
令2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,得kπ≤x≤kπ+π2,k∈Z,当k=0时,0≤x≤π2,∴f(x)在0,π2上单调递减,B正确; f(x)的最大值为2,C错误; fπ2=2cs π=-2,是最小值,D正确.故选ABD.
3.ABD 依题意得,
f(x)=sin2x+cs2x+2|sinxcsx|
=1+|sin2x|.
A选项中, f(x)的定义域为R, f(-x)=1+|sin(-2x)|=1+|sin2x|=f(x),故A正确;
B选项中, f(x)的最小正周期为π2,故B正确;
C选项中, f(x)max=1+1=2≠2,故C不正确;
D选项中, y=|sin 2x|的图象如图所示,
由图可知f(x)=1+|sin2x|在π2,3π4上单调递增,故D正确.故选ABD.
4.答案 -14,2;23,4
解析 y=cs x-sin2x-cs 2x+74
=cs x-1+cs2x-2cs2x+1+74
=-cs2x+cs x+74
=-csx-122+2.
∵-1≤cs x≤1,∴ymax=2,ymin=-14,
因此其值域为-14,2.
f(x)=3-sinx2+sinx=5-(2+sinx)2+sinx=52+sinx-1.
∵-1≤sin x≤1,∴1≤sin x+2≤3⇒13≤12+sinx≤1⇒53≤52+sinx≤5⇒23≤52+sinx-1≤4,故其值域为23,4.
5.解析 (1)因为α∈0,π2,sin α=35,
所以cs α=1-sin2α=45,
所以sinα-π4=22(sin α-cs α)=-210.
(2)因为sin α=35,cs α=45,所以tan α=sinαcsα=34.
所以cs2α2+tanπ4+α=1+csα2+1+tanα1-tanα=7910.
6.解析 (1)f(x)=sin2ωx-π6-4sin2ωx+2
=32sin 2ωx-12cs 2ωx-4×1-cs2ωx2+2
=32sin 2ωx+32cs 2ωx
=3sin2ωx+π3.
由已知得函数f(x)的最小正周期T=π,
∴2π2ω=π,
∴ω=1,
∴f(x)=3sin2x+π3.
(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到g(x)的图象,
∴g(x)=3sin2x+2m+π3,
∵函数g(x)的图象经过点-π3,0,
∴3sin2×-π3+2m+π3=0,
即sin2m-π3=0,
因此,2m-π3=kπ,k∈Z,
解得m=k2π+π6,k∈Z.
∵m>0,∴当k=0时,m取最小值,最小值为π6,
此时,g(x)=3sin2x+2π3.
令-π6≤x≤7π12,则π3≤2x+2π3≤11π6,
当π3≤2x+2π3≤π2或3π2≤2x+2π3≤11π6,
即-π6≤x≤-π12或5π12≤x≤7π12时,函数g(x)单调递增,
当π2≤2x+2π3≤3π2,即-π12≤x≤5π12时,函数g(x)单调递减.
∴g(x)在-π6,7π12上的单调增区间为-π6,-π12,5π12,7π12;单调减区间为-π12,5π12.
7.解析 (1)如图,过点O作PE,PF的垂线,垂足分别为G,H,则OG=OH=a,∠FOH=θ.
在Rt△OEG中,OE=asinθ,
在Rt△OHF中,OF=acsθ,
则l=OE+OF=asinθ+acsθ,
即l=a(sinθ+csθ)sinθcsθ,θ∈0,π2.
故铁棒的长l为a(sinθ+csθ)sinθcsθ m.
(2)由(1)可知l=a(sinθ+csθ)sinθcsθ,θ∈0,π2.
令t=sin θ+cs θ=2sinθ+π4,则t∈(1,2],sin θcs θ=t2-12.
故l=a(sinθ+csθ)sinθcsθ=2att2-1=2at-1t,
当t∈(1,2]时,函数y=t-1t单调递增,l=2at-1t单调递减,
则t=2,即θ=π4时,lmin=22a(2)2-1=22a.
故若铁棒EF能水平地通过此直角走廊,则此铁棒的最大长度为22a m.
(3)如图,延长CD交直线PA于点N,延长DC交直线PB于点M,设∠PNM=β,β∈0,π2,则∠PMN=π2-β.
则MN=asinβ+acsβ,
在Rt△AND中,DN=btanβ,
在Rt△BMC中,CM=btan β,
则AB=CD=MN-DN-CM
=asinβ+acsβ-btanβ-btan β
=a(sinβ+csβ)sinβcsβ-bcsβsinβ+sinβcsβ
=a(sinβ+csβ)sinβcsβ-b·sin2β+cs2βsinβcsβ
=a(sinβ+csβ)sinβcsβ-bsinβcsβ.
令d=sin β+cs β=2sinβ+π4,d∈(1,2],则sin βcs β=d2-12,
即AB=2ad-2bd2-1=2a(d-1)+2a-2bd2-1=2ad+1+2a-2bd2-1,d∈(1,2].
当d∈(1,2]时,y=2ad+1+2a-2bd2-1单调递减,
则d=2,即θ=π4时,ABmin=2a2+1+2a-2b(2)2-1=22a-2b.
故若平板车能顺利通过直角走廊,其长度不能超过(22a-2b)m.