高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件当堂检测题

课时作业7　充要条件

时间：45分钟

　　　　　　　　　——基础巩固类——

1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　A　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B，所以a＝3⇒A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以

A⊆Ba＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．

2．下列p是q的充要条件的是(　B　)

A．p：a>b，q：ac>bc

B．p：x＝0或x＝1，q：x2－x＝0

C．p：x>1且y>1，q：x＋y>2且xy>1

D．p：0<x<3，q：|x－1|<2

解析：选项A中c可为0，不符合．选项B中x2－x＝0解得x＝0或x＝1，符合题意．对于选项C，x>1且y>1⇒x＋y>2且xy>1；而x＋y>2且xy>1x>1且y>1.故p是q的充分不必要条件，不符合题意．对于选项D,0<x<3⇒|x－1|<2，|x－1|<2⇒－1<x<30<x<3.故p是q的充分不必要条件，不符合题意．

3．设a，b∈R，则“a<b”是“(a－b)a2<0”的(　B　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：若a＝0，b＝1，满足a<b，但(a－b)a2<0不成立，若(a－b)a2<0，则a<b且a≠0，则a<b成立，故“a<b”是“(a－b)a2<0”的必要不充分条件．故选B.

4．设条件p：|x－2|<3，条件q：0<x<a，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是(　A　)

A．0<a≤5   B．0<a<5

C．a≥5   D．a>5

解析：由|x－2|<3，得－3<x－2<3，即－1<x<5，即p：－1<x<5.因为q：0<x<a，a为正常数，所以要使p是q的必要不充分条件，则0<a≤5，故选A.

5．已知条件p：－1<x<3，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为(　D　)

A．a>3   B．a≥3

C．a<－1   D．a≤－1

解析：条件p：－1<x<3，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a≤－1，故选D.

6．设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有(　D　)

①A∪B＝A;  ②(∁UA)∩B＝∅；

③(∁UA)⊆(∁UB);  ④A∪(∁UB)＝U.

A．1个   B．2个

C．3个   D．4个

解析：由如图所示的韦恩图可知，①②③④都是充要条件．

7．已知a，b是实数，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab>0”的(　B　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：因为|a＋b|＝|a|＋|b|⇔a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2⇔|ab|＝ab⇔ab≥0，而由ab≥0不能推出ab>0，由ab>0能推出ab≥0，所以由|a＋b|＝|a|＋|b|不能推出ab>0，由ab>0能推出|a＋b|＝|a|＋|b|，故选B.

8．在△ABC中，AB>AC是∠C>∠B的(　　)条件(　C　)

A．充分不必要   B．必要不充分

C．充要   D．既不充分也不必要

解析：在△ABC中，边大则角大，角大边也大，因此AB>AC是∠C>∠B的充要条件．故选C.

9．设集合A＝{x|0<x<1}，B＝{x|0<x<3}，那么“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．

解析：A＝{x|0<x<1}，B＝{x|0<x<3}，∴m∈A⇒m∈B，而m∈B⇒m∈A.∴“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．

10．若“x2＋ax＋b＝0”是“x＝1”的充要条件，则a＋b的值为－1.

解析：易得，解得，

所以a＋b＝－1.

11．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝3或4.

解析：一元二次方程x2－4x＋n＝0，有整数根首先满足Δ＝16－4n≥0，即n≤4，又n∈N＋，所以n＝1,2,3,4代入x2－4x＋n＝0，检验知n＝3或n＝4时，方程的解为整数．

12．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件．

解：若方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一个负实数根，则当a＝0时，x＝－，符合题意．

当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实数根，则Δ＝4－4a≥0，解得a≤1，

当a＝1时，方程有且仅有一个负实数根x＝－1，

当a<1且a≠0时，若方程有且仅有一个负实数根，则<0，即a<0.

当a≤0或a＝1时，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一个负实数根．

综上，“方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一个负实数根”的充要条件为“a≤0或a＝1”．

13．已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1，该条件是否是必要条件？证明你的结论．

证明：充分性：若a2－b2＝1，则

a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1.

所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．

a2－b2＝1也是a4－b4－2b2＝1的必要条件，证明如下：

若a4－b4－2b2＝1，则a4－(b2＋1)2＝0，即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0.

因为a，b是实数，所以a2＋b2＋1≠0，

所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.

综上可知，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.

——能力提升类——

14．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长分别为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max·min，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的(　A　)

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，∴l＝max·min＝1×1＝1，∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．∵a≤b≤c，令a＝b＝2，c＝3，∴max＝，min＝，此时l＝×＝1，△ABC为等腰三角形，故不能推出△ABC为等边三角形，∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．综上，故选A.

15．已知x，y是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件为xy>0.

证明：必要性：∵<，∴－<0，即<0.

∵x>y，∴y－x<0，∴xy>0.

充分性：∵x>y，xy>0，

∴<，即<.

∴综上所述，<的充要条件为xy>0.