人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件第2课时课后测评

第一章　1.4　第2课时

A组·素养自测

一、选择题

1．设x∈R，则“x>1”是“|x|>1”的(　A　)

A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

[解析]　由题意可知x>1⇒|x|>1，但|x|>1x>1.故选A．

2．已知x∈R，则{x|x<－1}是{x|x>或x<－1}的(　A　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

[解析]　{x|x<－1}⇒{x|x>或x<－1}，反之不成立，

所以“{x|x<－1}”是“{x|x>或x<－1}”的充分不必要条件．故选A．

3．命题“对所有的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　C　)

A．a≥4 B．a≤4

C．a≥5 D．a≤5

[解析]　命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题，可化为∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．

4．若a，b为实数，则ab(a－b)<0成立的一个充要条件是(　D　)

A．0<< B．0<<

C．< D．<

[解析]　ab(a－b)<0⇔a2b－ab2<0⇔a2b<ab2⇔<⇔<.故选D．

二、填空题

5．下列说法正确的是__②④__.

①x2≠1是x≠1的必要条件；

②x>5是x>4的充分不必要条件；

③xy＝0是x＝0且y＝0的充要条件；

④x2<4是x<2的充分不必要条件．

[解析]　由x2≠1⇒x≠1，x≠1x2≠1，即x2≠1是x≠1的充分不必要条件，故①不正确．②正确．③中，由xy＝0x＝0且y＝0，则③不正确．④正确．

6．已知p：x<8，q：x<a，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围为__a<8__.

[解析]　因为p：x<8，q：x<a，且q是p的充分而不必要条件，所以a<8.

三、解答题

7．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.

[解析]　方法一：充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.

必要性：由<，得－<0，即<0.

因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.

所以<的充要条件是xy>0.

方法二：<⇔－<0⇔<0.

由条件x>y⇔y－x<0，故由<0⇔xy>0.

所以<⇔xy>0，

即<的充要条件是xy>0.

B组·素养提升

一、选择题

1．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是(　C　)

A．0<a≤1 B．a<1

C．a≤1 D．0<a≤1或a<0

[解析]　解法一(直接法)：当a＝0时，x＝－，符合题意；a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，则解得a<0；若方程两根均负，则解得0<a≤1.综上所述，充要条件是a≤1.

解法二(排除法)：当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B．故选C．

2．(多选题)设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有(　BCD　)

A．A∪B＝B B．(∁UA)∩B＝∅

C．∁UA⊆∁UB D．A∪∁UB＝U

[解析]　由Venn图可知，BCD都是充要条件．

故选BCD．

二、填空题

3．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的__充要__条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

[解析]　A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，∵A∪B＝C，∴“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件．

4．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，且a≠0，则实数a的取值为__－或__.

[解析]　p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.q：ax＋1＝0，即x＝－.由题意知pq，q⇒p，所以有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.综上可知，a＝－或.

三、解答题

5．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2，或x<－1”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由．

[解析]　存在．由4x＋p<0得x<－，如图在数轴上画出不等式x>2或x<－1，由数轴可得，当－≤－1时，即p≥4时，由x<－≤－1⇒x<－1⇒x>2或x<－1.故当p≥4时，“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件．