高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质同步练习题

课时素养评价 十

不等关系与比较大小

　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　30分)

1.下列选项正确的是 (　　)

A.a与b的差不是正数用不等式表示为a-b<0

B.a的绝对值不超过3用不等式表示为a≤3

C.(x-3)2<(x-2)(x-4)

D.x2+y2+1>2(x+y-1)

【解析】选D.a与b的差不是正数用不等式表示为a-b≤0；a的绝对值不超过3用不等式表示为|a|≤3；(x-3)2-(x-2)(x-4)=1>0，

所以(x-3)2>(x-2)(x-4)；

x2+y2+1-2(x+y-1)=(x-1)2+(y-1)2+1>0，

所以x2+y2+1>2(x+y-1).

2.(x+5)(x+7)与(x+6)2的大小关系为_______. 

【解析】因为(x+5)(x+7)-(x+6)2

=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0.

所以(x+5)(x+7)<(x+6)2.

答案：(x+5)(x+7)<(x+6)2

3.已知x≠0，则(x2+1)2与x4+x2+1的大小关系为_______. 

【解析】因为(x2+1)2-(x4+x2+1)=(x4+2x2+1)-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2，

又x≠0，所以x2>0，

所以(x2+1)2-(x4+x2+1)>0，

故(x2+1)2>x4+x2+1.

答案：(x2+1)2>x4+x2+1

4.为了全面贯彻党的教育方针，落实“立德树人”的根本任务，切实改变边远地区孩子上学难的问题，某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学.经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是___________. 

【解析】设该校有初中班x个，高中班y个，

则有：

答案：

5.为了庆祝我们伟大祖国70周年华诞，某市世纪公园推出优惠活动.票价降低到每人5元；且一次购票满30张，每张再少收1元.某班有27人去世纪公园游玩，当班长王小华准备好了零钱到售票处买票时，爱动脑筋的李敏喊住了王小华，提议买30张票.但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？

那么，李敏的提议对不对呢？是不是真的浪费？谈谈你们的看法.

【解析】如果买27张票要花27×5=135(元)，

如果买30张票要花30×(5-1)=120(元)，

通过比较，135>120，所以27人买30张票不是浪费，反而还节省15元呢.

　　　　　　　　　　　　　 (20分钟　40分)

一、单选题(每小题5分，共15分)

1.设x<a<0，则下列不等式一定成立的是 (　　)

A.x2<ax<a2   B.x2>ax>a2

C.x2<a2<ax   D.x2>a2>ax

【解析】选B.因为x2-ax=x(x-a)>0，所以x2>ax.

又ax-a2=a(x-a)>0，所以ax>a2，所以x2>ax>a2.

【光速解题】选B.本题可以利用特殊值法解答，由题意，可以令x=-2，a=-1，则x2=4，ax=2，a2=1，直接得出答案.

2.“>1”的一个充分不必要条件是 (　　)

A.x>y    B.x>y>0

C.x<y    D.y<x<0

【解题指南】如果p是q的充分不必要条件，那么p⇒q，而q⇒/ p.

【解析】选B.当x>y>0时，必有>1，

而>1⇔>0⇔x>y>0或x<y<0.

所以x>y>0是>1的充分不必要条件.

3.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是              (　　)

A.ax+by+cz    B.az+by+cx

C.ay+bz+cx    D.ay+bx+cz

【解析】选B.方法一：因为x<y<z，a<b<c，所以ax+by+cz-(az+by+cx)

=a(x-z)+c(z-x)=(x-z)(a-c)>0，故ax+by+cz>az+by+cx；同理，ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x-z)(c-b)<0，故ay+bz+cx<ay+bx+cz.又az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y)+b(y-z)=(a-b)(z-y)<0，故az+by+cx<ay+bz+cx.

综上可得，最低的总费用为az+by+cx.

方法二(特殊值法)：若x=1，y=2，z=3，a=1，b=2，c=3，则ax+by+cz=14，az+by+cx=10，ay+bz+cx=11，ay+bx+cz=13.由此可知最低的总费用是az+by+cx.

二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

4.已知三个不等式：①ab>0，②>，③bc>ad，则下列结论正确的是              (　　)

A.①③⇒②    B.①②⇒③

C.②③⇒①    D.B选项错误

【解析】选ABC.不等式②作等价变形>⇔>0，由ab>0，bc>ad，可得②成立，即①③⇒②；

若ab>0，>0，则bc>ad，故①②⇒③；

若bc>ad，>0，则ab>0，故②③⇒①.

三、填空题(每小题5分，共10分)

5.若x∈R，则与的大小关系为_______. 

【解析】因为-==≤0.

所以≤.

答案：≤

6.一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为_______；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为_______. 

【解析】(1)原来每天行驶x km，现在每天行驶(x+19)km.

则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”，写成不等式为8(x+19)>2 200.

(2)若每天行驶(x-12)km，

则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为>9.

答案：8(x+19)>2 200　>9

四、解答题

7.(10分)(1)已知a>b>c>0，试比较与的大小.

(2)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.

【解析】(1)-=

==

=.

因为a>b>c>0，所以a-b>0，ab>0，a+b-c>0.

所以>0，即>.

(2)(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=+.

因为≥0，所以+≥>0，

所以(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0，

所以2x2+5x+3>x2+4x+2.

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