高中人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质第1课时学案及答案

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[目标] 1.了解周期函数与最小正周期的意义；2.了解三角函数的周期性和奇偶性；3.能求简单三角函数的周期，并能判断一些函数的奇偶性．
[重点] 会求函数周期，会判断奇偶性．
[难点] 函数周期的概念．
知识点一 周期函数
[填一填]
(1)定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期．
①定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数称为函数f(x)的最小正周期．②正弦函数与余弦函数的最小正周期：2π.
[答一答]
1．是否所有的周期函数都有最小正周期？
提示：不是．如f(x)＝C(C为常数，x∈R)，所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正周期．
2．周期函数的周期是否唯一？
提示：不唯一．若f(x＋T)＝f(x)，则f(x＋nT)＝f(x)(n∈N)．
知识点二 正弦函数、余弦函数的周期
[填一填]
(1)函数y＝sinx与y＝csx的周期都是2kπ(k∈Z且k≠0)．最小正周期为2π.
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为：T＝eq \f(2π,ω).
[答一答]
3．三角函数的周期与什么量有关？若ω<0，函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的周期公式是什么？
提示：三角函数的周期只与ω有关，而与A，φ无关，若ω<0，则函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acs(ωx＋φ)的周期公式是T＝eq \f(2π,|ω|).
4．函数y＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)x＋\f(π,6)))的最小正周期为5π.
知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性
[填一填]
(1)正弦曲线关于原点对称；是奇函数(填“奇”或“偶”)；
(2)余弦曲线关于y轴对称；是偶函数．
[答一答]
5．函数y＝1＋csx的图象( B )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线x＝eq \f(π,2)对称
解析：y＝1＋csx是偶函数，其图象关于y轴对称．
类型一 求三角函数的周期
[例1] 求下列函数的周期：
(1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))(x∈R)；
(2)y＝|sinx|(x∈R)．
[分析] (1)利用代换z＝2x＋eq \f(π,3)，将求原来函数的周期转化为求y＝sinz的周期求解，或利用公式求解．
(2)作出函数图象观察求解．
[解] (1)方法一(定义法)：令z＝2x＋eq \f(π,3)，∵x∈R，∴z∈R，函数y＝sinz的最小正周期是2π，就是说变量z只要且至少要增加到z＋2π，函数y＝sinz(z∈R)的值才能重复取得，而z＋2π＝2x＋eq \f(π,3)＋2π＝2(x＋π)＋eq \f(π,3)，∴自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，从而函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))(x∈R)的周期是π.
方法二(公式法)：f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))中，ω＝2，
∴T＝eq \f(2π,|2|)＝π.
(2)方法一(定义法)：∵f(x)＝|sinx|，
∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sinx|＝|sinx|＝f(x)，故f(x)的最小正周期为π.
方法二(图象法)：作出y＝|sinx|的图象如图：
由图象易知y＝|sinx|的周期为π.
三角函数周期的主要求法
方法一：定义法，利用f(x＋T)＝f(x)；
方法二：公式法，对于y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，周期T＝eq \f(2π,|ω|)；
方法三：图象法，作出函数图象，通过观察图象得到周期．
[变式训练1] (1)下列函数中，周期为π的函数为( C )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)x＋\f(π,6))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))
C．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,4)))
(2)若函数是以2为周期的函数，且f(3)＝6，则f(5)＝6.
解析：(1)利用周期公式T＝eq \f(2π,ω)，可知C中函数周期T＝eq \f(2π,2)＝π.故选C.
(2)∵函数是以2为周期的函数，
∴f(5)＝f(3＋2)＝f(3)＝6.故填6.
类型二 三角函数奇偶性的有关问题
命题视角1：三角函数奇偶性的判断
[例2] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \r(2)sin2x；
(2)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))；
(3)f(x)＝sin|x|；
(4)f(x)＝eq \r(1－csx)＋eq \r(csx－1).
[分析] 首先看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)之间的关系．
[解] (1)显然x∈R，f(－x)＝eq \r(2)sin(－2x)＝－eq \r(2)sin2x＝－f(x)，所以f(x)＝eq \r(2)sin2x是奇函数．
(2)因为x∈R，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))＝－cseq \f(3x,4)，
所以f(－x)＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3x,4)))＝－cseq \f(3x,4)＝f(x)，
所以函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))是偶函数．
(3)显然x∈R，f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．
(4)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－csx≥0，,csx－1≥0，))得csx＝1，
∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
当csx＝1时，f(x)＝0，f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)＝eq \r(1－csx)＋eq \r(csx－1)既是奇函数又是偶函数．
判断函数的奇偶性时，必须先检查其定义域是否关于原点对称.如果是，再验证f－x是否等于－fx或fx，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数.
[变式训练2] 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－φ))(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是( C )
A．0 B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,2) D．π
解析：由题意得sin(－φ)＝±1，即sinφ＝±1.
因φ∈[0，π]，所以φ＝eq \f(π,2).故选C.
命题视角2：三角函数的对称性
[例3] 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的对称轴是________，对称中心是________．
[解析] 要使sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝±1，必有2x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，∴x＝eq \f(k,2)π＋eq \f(π,12)(k∈Z)．
即对称轴所在直线方程为x＝eq \f(k,2)π＋eq \f(π,12)(k∈Z)．
而函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象与x轴的交点即为对称中心．
令y＝0，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝0，
∴2x＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，
即x＝eq \f(k,2)π－eq \f(π,6)(k∈Z)．
故函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,2)π－\f(π,6)，0))(k∈Z)．
[答案] x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,6)，0))(k∈Z)
[变式训练3] 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝eq \f(π,12)对称的是( D )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))
B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
解析：由函数的最小正周期为π可排除选项A、B.对于选项C，x＝eq \f(π,12)时，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)，显然x＝eq \f(π,12)不是它的对称轴．故选D.
类型三 函数周期性与奇偶性的应用
[例4] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．
(1)证明：f(x)是周期函数；
(2)若当x∈[－2,2]时，f(x)＝－x2＋1，求当x∈[－6，－2]时，f(x)的解析式．
[分析] 证明函数f(x)是周期函数，关键是找到一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．求f(x)在区间[－6，－2]上的解析式，要充分利用其周期性，将它转化到已知区间[－2,2]上进行求解．
[解] (1)证明：由已知f(－x)＝f(x)，f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立．f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)．故f(x)是以4为周期的周期函数．
(2)当x∈[－6，－2]时，x＋4∈[－2,2]．
∴f(x)＝f(x＋4)＝－(x＋4)2＋1＝－x2－8x－15.
证明或判断抽象函数的周期性，是一种题型，解题的关键是找出其周期，一般要在题设条件下通过尝试变形来解决.求周期函数在某个区间内的解析式，先要在该区间内选取自变量，再通过周期将其调节到已知区间，从而将它转化为已知区间内的函数解析式.
[变式训练4] 定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sinx，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))等于( D )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
解析：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
1．函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期是( C )
A．4π B．2π
C．π D.eq \f(π,2)
解析：T＝eq \f(2π,2)＝π.
2．下列函数中是偶函数的是( C )
A．y＝sin2x B．y＝－sinx
C．y＝sin|x| D．y＝sinx＋1
解析：A为奇函数，B为奇函数，D为非奇非偶函数，C为偶函数，选C.
3．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象的一条对称轴是( C )
A．x＝eq \f(π,4) B．x＝eq \f(π,2)
C．x＝－eq \f(π,4) D．x＝－eq \f(π,2)
解析：三角函数在对称轴处取得最值，将x＝－eq \f(π,4)代入f(x)＝
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))得f(x)＝－1，取得函数的最小值，因此，直线x＝－eq \f(π,4)是对称轴．
4．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)的周期为π，则ω＝2.
解析：由于周期T＝eq \f(2π,ω)，所以eq \f(2π,ω)＝π，解得ω＝2.
5．若函数f(x)是以eq \f(π,2)为周期的奇函数，且f(eq \f(π,3))＝1，求f(－eq \f(17,6)π)的值．
解：∵f(x)的周期为eq \f(π,2)，且为奇函数，
∴f(－eq \f(17π,6))＝f(－3π＋eq \f(π,6))＝f(－6×eq \f(π,2)＋eq \f(π,6))＝f(eq \f(π,6))．
而f(eq \f(π,6))＝f(eq \f(π,2)－eq \f(π,3))＝f(－eq \f(π,3))＝－f(eq \f(π,3))＝－1，
∴f(－eq \f(17π,6))＝－1.
——本课须掌握的两大问题
1．对周期函数的正确理解
(1)关于函数周期的理解应注意以下三点：
①存在一个不等于零的常数T；
②对于定义域内的每一个值x，都有x＋T属于这个定义域；
③满足f(x＋T)＝f(x)．
(2)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
(3)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．
2．正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．
(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
(3)注意诱导公式在判断三角函数奇偶性时的运用．