数学九年级上册第四章 图形的相似综合与测试练习题

这是一份数学九年级上册第四章 图形的相似综合与测试练习题，共25页。试卷主要包含了如果＝，那么的值为等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》单元同步达标测评（附答案）
一．选择题（共14小题，满分42分））
1．如果＝，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
3．如图，在△ABC中，点D，E、F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列式于一定正确的是（　　）

A． B． C． D．
4．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　）

A．135° B．90° C．60° D．45°
5．在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（　　）
A．没有发生变化 B．放大了10倍
C．放大了30倍 D．放大了100倍
6．如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a、b应满足的条件是（　　）

A．a＝2b B．a＝b C．a＝4b D．a＝2b
7．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图所示，直线y＝x﹣1与x轴交于A，与y轴交于B，在第一象限内找点C，使△AOC与△AOB相似，则共能找到的点C的个数（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．在△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC＝4，下面四个结论：①DE＝2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4；④△ADE的周长与△ABC的周长之比为1：4；其中正确的有（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
10．如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边BC，CD，DA上，四边形EFGH由两个正方形组成且AB＝1，则线段BE的长为（　　）

A．﹣1 B．3﹣ C． D．
11．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP；③S△AOD＝S四边形OECF；其中正确结论的个数（　　）

A．1 B．3 C．2 D．0
12．如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（　　）

A．16 B．24 C．30 D．36
13．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（　　）

A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m
14．如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A'OB'．设点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（　　）

A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
二．填空题（共12小题，满分36分）
15．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，则四边形DBCE的面积是 　 　．

16．如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是 　 　．

17．若＝＝（a≠2c），则＝　 　．
18．如图，两条直线被三条平行直线所截，DE＝2，EF＝3，AB＝1，则AC＝　 　．

19．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，点D在边AC上，将△ABD沿BD翻折，点A的对称点为A'，使得A'D∥BC，则∠BDC＝　 　，＝　 　．

20．如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，则线段EF的长为　 　．

21．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 　 　s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似．

22．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），点C是线段AB的中点，过点C的直线l将△AOB截成两部分，直线l交折线A﹣O﹣B于点P．当截成两部分中有三角形与△AOB相似时，点P的坐标为 　 　．

23．如图△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为　 　．

24．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则线段EF的长为 　 　．

25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且AD＝，DE∥BC，∠DBE＝90°，连接AE．若AC＝3，BC＝4，则AE的长为 　 　．

26．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD中点，连接AE、BD交于点P，连接PC，则PC的长为 　 　．

三．解答题（共4小题，满分40分）
27．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）．
（1）在图1中画出一个格点△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似，周长之比为2：1；
（2）在图2中画出一个格点△A2B2C2，使得△A2B2C2与△ABC相似，面积之比为2：1．

28．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

29．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．
（1）求路灯A的高度；
（2）当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？

30．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若DE＝3，，求BC的长．


参考答案
一．选择题（共14小题，满分42分）
1．解：设a＝5x，则b＝3x，
∴＝＝，
故选：B．
2．解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，
B.1×4≠2×3，故不符合题意，
C.，故不符合题意，
D.，故符合题意，
故选：D．
3．解：∵DE∥BC，
∴，
∵EF∥AB，
∴，
∴，
故选：B．
4．解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠DEF＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝45°．
故选：D．
5．解：在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，则边长扩大10倍，故三角形的周长放大了10倍．
故选：B．
6．解：∵小矩形与原矩形相似，原矩形纸片的边长为a、b，
∴＝，
∴a2＝b2，
∴a2＝4b2，
∴a＝2b（负数舍去），
故选：D．
7．解：∵AB∥CD∥EF，
∴△BCD∽△BEF，△FCD∽△FAB，△ABC∽△FEC．
∴图中共有3对相似三角形．
故选：C．
8．解：∵点C在第一象限，
∴当点C为直角顶点时，有两种情形，
当点A为直角顶点时，也有两种情形，共有4种情形．
故选：D．

9．解：如图，

在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC＝2，
∴△ADE∽△ABC，
故①②正确；
∵△ADE∽△ABC，，
∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4，
△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：2，
故③正确，④错误．
故选：C．
10．解：由题意知，GF＝2EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝∠B＝90°，AB＝BC＝DC＝1．
∵∠DFG+∠CFE＝∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFG＝∠CEF，
∴△DFG∽△CEF，
∴＝2，
设BE＝x，则CE＝1﹣x，
∴DF＝2CE＝2﹣2x，
同理可得△CEF∽△BAE，
∴，
∴，
∴CF＝x﹣x2，
∵CD＝AB，
∴2﹣2x+x﹣x2＝1，
解得x＝（负值舍去），
∴BE＝．
故选：D．
11．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP，故结论①正确；
∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴＝，
∴AO2＝OD•OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE•OP；故结论②错误；
在△CQF与△BPE中，
，
∴△CQF≌△BPE（ASA），
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF＝S△DCE，
∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD＝S四边形OECF；故结论③正确；
故选：C．
12．解：∵四边形EGHF为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x cm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，
∵AD⊥BC，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝24．
即：正方形零件的边长为24cm．
故选：B．

13．解：由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽△BED，
故＝，
即＝，
解得：BC＝3，
则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴＝，
∴＝，
解得：AG＝1.2（m），
故选：A．
14．解：设点B的坐标为（x，y），
因为点B的对应点B'的坐标是（4，﹣2），
所以根据位似变换的坐标特点得﹣2•x＝4，﹣2•y＝﹣2，
即x＝﹣2，y＝1，故点B的坐标为（﹣2，1）．
故选：C．
二．填空题（共12小题，满分36分）
15．解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，
∴＝（）2＝，
∴S△ABC＝4S△ADE＝4，
∴S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
16．解：∵△DAB∽△DCA，
∴，
∴，
解得：BD＝4（负值舍去），
∵△DAB∽△DCA，
∴，
∴AC＝，
∵AC2＝AB（AB+BC），
∴（）2＝AB（AB+BC），
∴AB＝4，
∴AB＝BD＝4，
过B作BH⊥AD于H，
∴AH＝AD＝3，
∴BH＝＝＝，
∵AD＝3AP，AD＝6，
∴AP＝2，
当PQ⊥AB时，PQ的值最小，
∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠PAQ＝∠BAH，
∴△APQ∽△ABH，
∴＝，
∴＝，
∴PQ＝，
故答案为：．

17．解：∵＝＝（a≠2c），
∴＝＝，
∴＝．
故答案为：．
18．解：∵l1∥l2∥l1，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝，
∴AC＝AB+BC＝1+＝，
故答案为：．
19．解：方法一：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝75°
∵△ABD沿BD翻折，
∴∠A′＝∠A＝30°，
∵A'D∥BC，
∴∠A′BC＝∠A′＝30°，
∴∠A′BA＝∠ABC﹣∠A′BC＝45°，
∵△ABD沿BD翻折，
∴∠DBA＝∠DBA′＝22.5°，
∴∠BDC＝∠A+∠DBA＝52.5°；
延长A′D交AB于E，过E作EF⊥A′B于F，如图：

∵AB＝AC，A'D∥BC，
∴AD＝AE，
∵△ABD沿BD翻折，
∴AD＝A′D＝A′G＝AE，BG＝BE，
∵△ABD沿BD翻折，A'D∥BC，
∴∠A＝∠A′＝∠A′BC＝30°，
而∠C＝75°，
∴∠BGC＝75°，∠EBF＝45°，
∴BC＝BG＝BE，
设AD＝A′D＝AE＝A′G＝a，EF＝x，
Rt△A′EF中，A′F＝x，
Rt△BEF中，BF＝x，BE＝x，
由AB＝A′B可得：a+x＝x+x，
解得x＝a，
∴BE＝BC＝x＝a，
∴＝＝＝．
方法二：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝75°
∵△ABD沿BD翻折，
∴∠A′＝∠A＝30°，
∵A'D∥BC，
∴∠A′BC＝∠A′＝30°，
∴∠A′BA＝∠ABC﹣∠A′BC＝45°，
∵△ABD沿BD翻折，
∴∠DBA＝∠DBA′＝22.5°，
∴∠BDC＝∠A+∠DBA＝52.5°；
过G作GH⊥AB于H，如图：

∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∵△ABD沿BD翻折，
∴∠A'＝30°，
∵A'D∥BC，
∴∠A'BC＝30°，
∴∠ABA'＝45°，
∴△BGH是等腰直角三角形，
设GH＝BH＝m，则BG＝m，
Rt△AGH中，tanA＝，
∴AH＝m，
∴AB＝AH+BH＝m+m，
∴A'B＝AB＝m+m，
∴A'G＝A'B﹣BG＝m+m﹣m，
∵∠ACB＝75°，∠A'BC＝30°，
∴∠BGC＝∠A'GD＝75°，
∴BC＝BG＝m，
∵∠A'＝30°，∠A'GD＝75°，
∴∠A'DG＝75°，
∴A'D＝A'G＝m+m﹣m，
∴AD＝m+m﹣m，
∴＝＝．
故答案为：52.5°，．
20．解：过点D作DG∥BF交AC于点G，如右图所示，
∵D为BC边的中点，BC＝6，
∴BD＝3，
∵在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4，
∴AD＝＝5，
∵BE⊥AD于点E，交AC于F，
∴BE＝＝，
∵AB＝4，BE＝，∠AEB＝90°，
∴AE＝＝，
设DG＝x，则BF＝2x，EF＝2x﹣，
∵EF∥DG，
∴△AEF∽△ADG，
∴，
即，
解得，x＝，
∴EF＝2x﹣＝2×﹣＝，
故答案为：．

21．解：根据题意得：AE＝2t，BD＝t，
∴AD＝6﹣t，
∵∠A＝∠A，
∴分两种情况：
①当＝时，
即＝，解得：t＝；
②当＝时，
即＝，解得：t＝；
综上所述：当t＝或时，△ADE与△ABC相似．
22．解：当PC∥OB时，△APC∽△AOB，
由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，
此时P点坐标为（0，3）；
当PC∥OA时，△BCP∽△BAO，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，
此时P点坐标为（4，0）；
当PC⊥AB时，如图，
∵∠CBP＝∠OBA，
∴Rt△BPC∽Rt△BAO，
∴＝，
∵点B（8，0）和点A（0，6），
∴AB＝＝10，
∵点C是AB的中点，
∴BC＝5，
∴＝，
∴BP＝，
∴OP＝OB﹣BP＝8﹣＝，
此时P点坐标为（，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．
故答案为：（0，3）、（4，0）、（，0）．

23．解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴BE＝EF，
∵BC＝8，
∴CE＝8﹣BE，
当△CEF与△ABC相似时，＝或＝，即＝或＝，
解得：BE＝或，
故答案是：或．

24．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，又AB＝6，AD＝BC＝8，
∴BD＝＝10，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD＝5，∠BOF＝90°，又∠C＝90°，
∴△BOF∽△BCD，
∴＝，
∴＝，
解得，OF＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BO＝DO，EF⊥BD，
在△DEO和△BFO中，
，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴OE＝OF，
∴EF＝2OF＝．
故答案为：．

25．解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵AD＝，
∴BD＝AB﹣AD＝，
∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠BDE，
∵∠C＝∠DBE＝90°，
∴△ACB∽△EBD，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝2，
∴AE＝＝＝，
故答案为：．
26．解：如图，过点P作PQ⊥BC，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵E为CD的中点，
∴DE＝CD＝AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△BDC，
∴＝＝，
∵CD＝2，
∴PQ＝，
∵AB＝2，AD＝BC＝，
∴BD＝＝，
∴BP＝，
∴BQ＝＝＝，
∴CQ＝BC﹣BQ＝﹣＝，
∴PC＝＝＝．
故答案为：．
三．解答题（共4小题，满分40分）
27．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．

28．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵AE＝ED，
∴，
∵DF＝DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴，
又∵DF＝DC，正方形的边长为4，
∴ED＝2，CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝10．
29．解：（1）设BC＝x米，AB＝y米，
由题意得，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，身高MC＝NE＝1.5米，
∵△ABD∽△MCD，△ABF∽△NEF，
∴，，
，，
解得，
∴路灯A的高度为6米．

（2）如图，连接AG交BF延长线于点H，
∵△ABH∽△GFH，GF＝1.5米，BH＝3+3+2+FH＝8+FH，
∴，
，
解得（米）．
答：当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是米．

30．（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，
∴AF⊥BC，AG⊥DE，
∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，
∵∠BAF＝∠DAG，
∴∠B＝∠ADG，
又∵∠EAD＝∠BAC，
∴△ABC∽△ADE；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴，
∵，BC＝3，
∴，
∴BC＝．