人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质教案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质教案设计，共8页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
1. 了解不等式（组）的实际背景，会用不等式表示不等关系；
2. 了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系，学会比较两实数的大小的方法；
3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
【要点梳理】
要点一：符号法则与两实数大小的比较
1. 实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立.
2. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
① 两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
② 两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③ 两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④ 任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，.
3. 实数的运算性质与大小顺序之间的关系
要确定任意两个实数的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系即可：
对任意两个实数、：
①；
②；
③.
要点诠释：等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序，它是不等式这一章的理论的基础，是不等式性质的证明，也是解不等式的重要依据.
要点二：不等关系
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系. 在数学意义上，不等关系可以体现.
常量与常量之间的不等关系. 例如：“神舟五号”的质量大于“东方红一号”的质量；
变量与变量之间的不等关系. 例如：身高不足的儿童可免费乘坐公交车；
函数与函数直接的不等关系. 例如：当时，销售收入大于销售成本；
一组变量之间的不等关系. 例如：购置软件的费用与购置磁盘的费用之和不超过元.
常见文字语言与符号语言之间的转换
要点诠释：
（1）不等关系反映在日常生活中的方方面面，在数学上，常常用不等式（组）表示不等关系；
（2）不等式＞或＜：表示严格的不等式；
（3）不等式≥读作“大于或等于”，其含义是＞和=中至少有一个正确，等价于“不小于”. 例如不等式3≥2，2≥2都是正确的.
同理“≤”表示＜和=中至少有一个正确.
要点三：不等式
1.定义
不等式：用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）表示不等关系的式子.
2.同向与异向不等式
同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如与都是同向不等式；
异向不等式：两个不等号方向相反的不等式，例如是同向不等式.
3.不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
(1) 对称性：；
(2) 传递性：；
(3) 加法法则（同向不等式可加性）：；
(4) 乘法法则：若，则
（5）除法法则：若且，则
运算性质有：
(1) 可加法则：；
(2) 可乘法则：；
(3) 可乘方性：；
(4) 可开方性：.
要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.
要点四：比较两代数式大小的方法
作差法：
1. 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.
①；
②；
③.
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.
①；
②；
③.
要点诠释：若代数式、都为负数，也可以用作商法.
中间量法：
若两个代数式、不容易直接判断大小，可引入第三个量分别与、作比较，若满足且，则. 第三个量就是中间量. 这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性.一般选择0或1为中间量.
利用函数的单调性比较大小
若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.
作差比较法的步骤：
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；
第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；
最后下结论.
要点诠释：概括为：“三步一结论”.这里“定号”是目的，“变形”是关键过程.
【典型例题】
类型一：用不等式表示不等关系
例1. 某人有楼房一幢，室内面积共，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为，可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.
【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系.
【解析】假设装修大、小客房分别为间，间，根据题意，应由下列不等关系：
总费用不超过8000元
总面积不超过；
大、小客房的房间数都为非负数且为正整数.
即有：
即
此即为所求满足题意的不等式组
【变式】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本. 若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
【答案】设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式：
类型二：不等式性质的应用
例2．对于实数判断以下说法的对错.
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若， 则；
（4）若， 则；
（5）若， >， 则．
【思路点拨】本类题一般利用不等式的性质判断或者采用作差法判断，还可以利用特殊值法找反例否定.
【解析】
（１）错误
因为的符号不定，所以无法判定和的大小.
（２）正确
因为， 所以≠0， 从而>0，所以.
（３）正确
因为，所以 ，
又，所以，
综上，.
（４）正确
两个负实数，绝对值大的反而小．
（５）正确
因为 ，所以，所以 ，从而.
又因，所以．
【变式1】若，则下列命题中能成立的个数是( )
(1)； (2) ； (3)； (4)
A．1 B．2 C． 3 D．4
【答案】C
【变式2】若，则下列结论正确的是（ ）.
A. 均不成立
B. 均不成立
C. 均不成立
D. 均不成立
【答案】B；
【解析】特殊值法：取，分别代入四个选项，即得选项B.
例3．船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？
【解析】设甲地与乙地的距离为，船在静水中的速度为， 水流速度为，其中.
则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间
平均速度，
∵ ，
∴ .
因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度.
【变式】甲乙两车从地沿同一路线到达地，甲车一半时间的速度为，另一半时间的速度为；乙车用速度为行走一半路程，用速度行走另一半路程，若，试判断哪辆车先到达地.
【答案】甲车先到达地；
【解析】设从到的路程为，甲车用的时间为，乙车用的时间为，则，
∴.
，
.
所以，甲车先到达地.
类型三：作差比较大小
例4. 已知是实数，试比较与的大小．
【思路点拨】此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要). 根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小. 比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问题.
【解析】∵=，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
∴≥.
【变式1】在以下各题的横线处适当的不等号：
(1) ；
（2） ；
（3） ；
（4）当时， .
【答案】(1)＜； （2）＜ ； （3）＜； （4）＜
【变式2】比较下列两代数式的大小：
（1）与；（2）与.
【答案】
（1）
（2）
，
∴.
例5.已知()，试比较和的大小.
【解析】，
∵即，
∴当时，；
当时，.
【变式】已知，比较的大小.
【答案】
∴
类型四：作商比较大小
例6．已知：、， 且，比较的大小.
【思路点拨】本题是两指数式比较大小，如果设想作差法，很明显很难判断符号，由指数式是正项可以联想到作商比较.
【解析】 ∵、 ，∴，.
作商：
(1)若， 则，， ， 此时成立；
(2)若， 则，，， 此时成立.
综上，总成立.
【变式】已知为互不相等的正数，求证：
【答案】为不等正数，不失一般性，设
这时，，则有：
∴
由指数函数的性质可知：.
，即.
文字
语言
大于/高于/超过
小于/低于/少于
大于等于/至少/
不低于
小于等于/至少/
不多于/不超过
符号
语言
＞
＜
≥
≤