北师大版九年级上册第四章 图形的相似综合与测试课时练习

2021-2022学年度北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元训练卷

一、选择题

1．已知，，，是成比例线段，其中，则(        )

A． B． C． D．

2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝3，BC＝5，EF＝4，那么DE的长是（　　）

A． B． C． D．

3．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，则下列角的度数正确的是（　　）

A．∠D＝81° B．∠F＝83° C．∠G＝78° D．∠H＝76°

4．如图，△ABC中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明△ACP与△ACB相似的是（　　）

A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB

C．AC2＝AP×AB D．AB×CP＝AP×AC

5．如图，在5×5的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与△ABC相似的△DEF， 使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△DEF的最大面积是（    ）

A．2 B．5 C．2 D．10

6．学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时， 在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（      ）

A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米

7．如图，是一块直角三角形的土地，现在要在这块地上挖一个正方形蓄水池，已知剩余的两直角三角形（阴影部分）的斜边长分别为和，则剩余的两个直角三角形（阴影部分）的面积和为（    ）．

A．600 B．300 C．200 D．150

8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则的面积是（ ）

A．1 B． C． D．

9．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（　　　）

A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）

10．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有（　　）

①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2=AE•EG；④若AB=4，AD=5，则CE=1．

A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②

二、填空题

11．若，则______.

12．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于___．

13．如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，则小方行走的路程AC=________．

14．当两个相似三角形的相似比为_____时，这两个相似三角形的面积比是1：2．

15．已知的三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，相似比为，将放大，写出点、、位似变换后的对应点的坐标________．

16．如图，身高为的小亮想测量一棵大树的高度，他沿着树影由点向点走动，当走到点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合（于点），测得，，则树的高度为________．

17．如图，Q为正方形ABCD的CD边上一点，CQ=1，DQ=2，P为BC上一点，若PQ⊥AQ，则CP=_____．

18．如图，在正方形ABCD中，以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，点G在CD上，且CG=3DG．连接BG并延长，与AE交于点F，与AD延长线交于点H．连接DE交BH于点K，连接CK．若AE2=BF•BH，FG=，则S四边形EFKC=_____．

三、解答题

19．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．

20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC＝90°．

（1）求证：△ADE∽△BEC．

（2）若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．

21．如图，在中，，为边上的中线，于点E.

（1）求证：；

（2）若，，求线段的长.

22．王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不计），请你计算这块等腰三角形菜地的面积.

23．如图，在中， cm， cm，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t.

（1）用含t的代数式表示：________，

（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少.

24．如图，▱ABCD中，点E是CD延长线上一点，BE交AD于点F，DE=CD．

（1）求证：△ABF∽△CEB

（2）若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．

（3）若G、H分别为BF、AB的中点，AG、FH交于点O，求．

25．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为lcm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q．F，当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：

（1）求菱形ABCD的面积；

（2）当t=1时，求QF长；

（3）是否存在某一时刻t，使四边形APFD是平行四边形？若存在，求出t值，若不存在，请说明理由；

（4）设△DEF的面积为s（cm2），试用含t的代数式表示S，并求t为何值时，△DEF的面积与△BPC的面积相等．

参考答案

1．C

解：∵线段，，，成比例线段，

∴，

∵，

∴，

解得．

故选：C．

2．A

解：∵直线l1∥l2∥l3，

∴，

∵AB=3，BC=5，EF=4，

∴，

∴DE=．

故选：A．

3．D

解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，

∴∠B=∠F=78°，∠A=∠E=118°，∠C=∠G=88°，

∴∠D=∠H=360°-78°-118°-88°=76°．

故选：D．

4．D

解：A、当∠ACP=∠B，∠A=∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；

B、当∠APC=∠ACB，∠A=∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；

C、当AC2=AP•AB，即AC：AB=AP：AC时，结合∠A=∠A，可以判定△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；

D、当AB×CP=AP×AC时，不能判断△APC和△ACB相似．故本选项符合题意；

故选：D．

两组角对应相等的两个三角形相似．

5．B

解：从图中可以看出△ABC的三边分别是2，，，
要让△ABC的相似三角形最大，就要让DF为网格最大的对角线，即是，
所以这两，相似三角形的相似比是：5=：5，
△ABC的面积为2×1÷2=1，
所以△DEF的最大面积是：1÷（）2=5．

6．C

如图，根据题意得: AG=4.2米 ，AB=6.3米，EF=9米，

同一时刻树高与影长的比和旗杆与影长的比相等得△DFE与△GAB相似，

即 ，

代入得：

解得：树高= 6米．

故选：C．

7．B

解：设DE＝xcm，BE＝ycm，

∵∠B＋∠C＝90°， ∠FDC＋∠C＝90°，

∴∠B＝∠FDC，

又∠BED＝∠DFC，

∴△BED∽△DFC，

∴，

∴DF＝y，CF＝x，

∵DE＝DF，

∴x＝y，

∵在Rt△BED中，BE2＋DE2＝BD2，

∴y2＋x2＝900，

联立两个方程，解得：y2＝，

∴阴影部分的面积＝xy＋×xy＝y2＝300cm2

故选B．

8．B

解：∵，，

∴ ，

∴ ，

∵与的位似比为，

∴ ，

∴，

∴．

故选：B．

9．B

如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，

过点C作CM⊥x轴于点M．

∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，

∴∠EAO=∠COM，

又∵∠AEO=∠CMO=90°，

∴△AEO∽△OMC，

∴，

∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，

∴∠BAN=∠EAO=∠COM，

在△ABN和△OCM中，

，

∴△ABN≌△OCM（AAS），

∴BN=CM．

∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，

∴BN，

∴CM，

∴，

∴MO=3，

∴点C的坐标是：（3，）．

故选：B．

10．B

（1）由折叠的性质可得：∠ADG=∠AFG（故①正确）；

（2）由折叠的性质可知：∠DGE=∠FGE，∠DEG=∠FEG，DE=FE，

∵FG∥CD，

∴∠FGE=∠DEG，

∴∠DGE=∠FEG，

∴DG∥FE，

∴四边形DEFG是平行四边形，

又∵DE=FE，

∴四边形DEFG是菱形（故②正确）；

（3）如图所示，连接DF交AE于O，

∵四边形DEFG为菱形，

∴GE⊥DF，OG=OE=GE，

∵∠DOE=∠ADE=90°，∠OED=∠DEA，

∴△DOE∽△ADE，

∴，即DE2=EO•AE，

∵EO=GE，DE=DG，

∴DG2=AE•EG，故③正确；

（4）由折叠的性质可知，AF=AD=5，DE=FE，

∵AB=4，∠B=90°，

∴BF=，

∴FC=BC-BF=2，

设CE=x，则FE=DE=4-x，

在Rt△CEF中，由勾股定理可得：，解得：.

故④错误；

综上所述，正确的结论是①②③.

故选B.

11．8

∵，

∴设a=2k，b=3k，c=4k，

∴=8，

故答案为：8.

12．.

解：∵∠AEC＝∠BED，

∴当时，△BDE∽△ACE，

即

∴CE＝

故答案为．

13．7.5米

∵AE⊥OD，FC⊥OD，
∴△AEB∽△OGB，

,
解得AB=2m；
∵OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，
∴DC=5m
同理可得△DFC∽△DGO，
∴，

解得AC=7.5m．
故答案为7.5m．

14．1:

∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，

∴两个相似三角形的面积比是1：2时，两个相似三角形的相似比为：1：．

故答案为1：．

15．，，或，，

A（2，3）以原点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则A的对应点的坐标是A的横纵坐标同时乘以位似比2，或﹣2．因而对应点的坐标是（4，6）或（﹣4，﹣6），则点A、B、C位似变换后的对应点的坐标（4，6），（4，2），（12，4）或（﹣4，﹣6），（﹣4，﹣2），（﹣12，﹣4）．

故答案为：（4，6），（4，2），（12，4）或（﹣4，﹣6），（﹣4，﹣2），（﹣12，﹣4）．

16．

由题意可得：EC∥AB．

∵EC∥AB，∴△DEC∽△DAB，∴．

∵BC＝5m，CD＝2.5m，EC＝1.6m，∴，解得：AB＝4.8（m）．

故答案为：4.8．

17．

解：∵PQ⊥AQ，
∴∠DQA+∠CQP=180°-90°=90°；
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAQ+∠DQA=90°，
∴∠CQP=∠DAQ，
∴ADQ∽△QCP，

,

∵CQ=1，DQ=2，
∴AD=DC=3；
∴CP=，

故答案为：.

18．

解∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠ADC=90°，

∵CG=3DG，

∴可以假设DG=3a，CG=9a，

则AB=AD=BC=CD=12a，

∴DG∥AB，

∴，

∴DH=4a，GH=5a，BH=20a，

∵AE2=BF•BH，AE=AB，

∴AB2=BF•BH，

∴，∵∠ABF=∠ABH，

∴△ABF∽HBA，

∴∠AFB=∠BAH=90°，

∴AF=，BF=a，

∴FG=BH-BF-GH=a，

∵AE=AD，

∴∠ADE=∠AED，

∵∠ADE+∠GDK=90°，∠KEF+∠EKF=90°，∠EKF=∠GKD，

∴∠GDK=∠GKD，

∴GD=GK=3a，

作KM⊥CD于M，EN⊥AB于N，

∵，

∴KM=a，

∵△AFB≌△ANE，

∴EN=BF=a，

∴S四边形EFKC=S△EFK+S△ECK

=s△EFK+（S△CDE-S△CDK）

=×a×a+（×12a×a-×12a×a）

=a2，

∵FG=a=，

∴a=，

∴S四边形EFKC=，

故答案为．

19．

∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC．

又∵CE⊥AB，

∴∠ADB=∠CEB=90°，

又∵∠B=∠B，

∴△ABD∽△CBE．

20．(1)∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴AB⊥AD，∠A＝∠B＝90°，

∴∠ADE＋∠AED＝90°，

∵∠DEC＝90°，

∴∠AED＋∠BEC＝90°，

∴∠ADE＝∠BEC，

∴△ADE∽△BEC；

(2)∵△ADE∽△BEC，

∴，

∵AD＝1，BC＝3，AE＝2，

∴，

∴BE＝，

∴AB＝AE＋BE＝.

21．解：（1)证明：∵，

∴.

又∵为边上的中线，

∴.

∵，

∴，

∴.

(2)∵，∴.

在中，根据勾股定理，得.

由（1）得，∴，

即，

∴.

22．768平方米或480平方米.

根据题意，有三种情况：

①当等腰三角形为锐角三角形时（如图①所示）.

∵D为AB中点，

∴.

∵米，米，

∴（米）.

过C点作于点F，

∴，

∴，

∴，

∴（米），

∴（平方米）.

②当等腰三角形为钝角三角形时（如图②所示），过点A作于点F.

∵米，米，

∴米.

∵，，

∴.

∴，

∴（米），（米），

∴（米），

∴（平方米）.

③当等腰三角形是等腰直角三角形时，不符合情况. 连接AD，如图所示.

∵，，，，

∴，.

但∵米，米，

∴不符合情况.

23．

（1）2t , ;

（2）连接PQ，∵，∴当时，，此时，解得；

∵，∴当时，，此时，解得.

∴运动时间为s或4s.

24．

（1）证明：∵▱ABCD，

∴AB∥CE，AD∥BC，

∴∠ABF=∠E，

又∵ABCD是平行四边形，

∴∠BAF=∠C，

△ABF∽△CEB，

（2）解：∵∠ABF=∠E，∠AFB=∠EFD，

∴△ABF∽△DEF，

∵AD∥BC，

∴△CEB∽△DEF，

∵DE=CD，

∴，，

∴，，

∵△DEF的面积为2，

∴S△BFA=8，S△EBC=18，

∴S梯形FDBC=18﹣2=16，

∴S平行四边形ABCD=16+8=24，

（3）解：∵G、H为中点，

∴GH∥AF，2GH=AF，

∴OG：OA=HG：AF=1：2．

25．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC=12cm，BD=16cm，

∴菱形ABCD的面积为×12×16=96（cm2）．

（2）∵AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=6cm，OB=OD=8cm，

在中，AB=（cm），

当t=1时，DQ=1，

∵EF⊥BD，AC⊥BD，

∴EF∥AC，

∴，

∴，

∴QF=（cm）．

（3）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD=8．

在中，AB=．

∵EF⊥BD，

∴∠FQD=∠COD=90°．

又∵∠FDQ=∠CDO，

∴△DFQ∽△DCO．

∴，

即，

∴DF=t．

∵四边形APFD是平行四边形，

∴AP=DF．

即10﹣t=t，

解这个方程，得t=．

∴当t=s时，四边形APFD是平行四边形．

（4）S=S△DEF=．

如图作CG⊥AB于点G．

∵S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，

即10•CG=×12×16，

∴CG=，

∴S△BPC=t×=t，

当△DEF的面积与△BPC的面积相等时，

，

解得t=或t=0（舍弃），

∴S=，当t=时，△DEF的面积与△BPC的面积相等