2021学年第一章 特殊平行四边形综合与测试课后练习题

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2021-2022学年度北师大版九年级数学上册第1章特殊平行四边形单元提升训练卷
一、选择题
1．下列说法中，正确的是（　　）
A．两邻边相等的四边形是菱形 B．一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形
C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线垂直的四边形是菱形
2．在菱形ABCD中AB＝5，AC＝8，BC边上的高为（　　）
A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8
3．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为（　　）

A．（2+） B．（2，2） C．（，2+） D．（4﹣，2）
4．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝8，则AB的长是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．8
5．如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（　　）

A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60° D．AB＝BC
6．如图，在正方形ABCD中，BD与AC相交于点O．嘉嘉作DP∥OC，CP∥OD，在正方形ABCD外，DP，CP交于点P；淇淇作DP＝OC，CP＝OD，在正方形ABCD外，DP，CP交于点P，两人的作法中，能使四边形OCPD是正方形的是（　　）

A．只有嘉嘉 B．只有淇淇
C．嘉嘉和淇淇 D．以上均不正确
7．如图，在矩形ABCD中，AD＝6．对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，DE＝3BE，则AE的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．3
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC，垂足为E，若AC＝，AE＝2，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．5 B．10 C． D．2
9．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝17，BE＝7，则MN＝（　　）

A．25 B． C．12 D．
10．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且AF⊥BE，垂足为G，则下列结论：①BE＝AF；②∠AFB+∠BEC＝90°；③∠DAF＝∠ABE；④BF＝CE．
其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝2，∠COB＝60°，BF⊥AC，交AC于点M，交CD于点F，延长FO交AB于点E，则下列结论：①FO＝FC；②四边形EBFD是菱形；③△OBE≌△CBF；④MB＝3．其中结论正确的序号是（　　）

A．②③④ B．①②③ C．①④ D．①②③④
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是　 　．

13．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD上，DE＝1；作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是　 　．

14．如图，在四边形ABCD中，BD为对角线，AD∥BC，BC＝AD，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求菱形BCDE的面积．

15．已知：如图．矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别相交于点E、F．
（1）求证：△BOE≌DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．

16．已知：平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．E是AD的中点，连接OE并延长至F使得OE＝EF，连接FD，FC，FC交BD于点G．
求证：（1）△FGD≌△CGO；
（2）当AB与AC有怎样的数量关系时，四边形FOCD是菱形，并说明理由．

17．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF＝BC．
（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是等边三角形，且边长为6，求四边形ABFC的面积．


18．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥BD，过点A作AE⊥BC，交CB延长线于点E，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．

19．如图，AC为矩形ABCD的对角线，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDF．
（2）求证：四边形BFDE是平行四边形．

20．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．

21．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2．
（1）若CE＝1，求BC的长；
（2）求证：AM＝DF+ME．


参考答案
1．解：A、∵两邻边相等的平行四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线垂直的平行四边形是菱形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
2．解：设AC与BD交于点O，作出BC边的高h，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AO⊥BO，且AC＝2AO，BD＝2BO．
在Rt△AOB中利用勾股定理可得BO＝＝4．
∴BD＝2BO＝8．
∴菱形的面积为BD×AC＝×6×8＝24．
设BC变上的高为h，则BC×h＝24，即5h＝24，h＝4.8．
故选：D．
3．解：过点D作DE⊥x轴，垂足为E．
在Rt△CDE中，CD＝2，
∴CE＝DE＝，
∴OE＝OC+CE＝2+，
∴点D坐标为（2+，）．
故选：A．

4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝AC＝×8＝4，AC＝BD，OB＝BD，
∴AO＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
故选：A．
5．解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OD＝OC，OD⊥OC，
∵DP∥OC，CP∥OD，
∴四边形DOCP是平行四边形，
∴DP＝OC，CP＝OD，
∴DP＝OC＝CP＝OD，
∴平行四边形DOCP是正方形，故嘉嘉正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴OD＝OC，OD⊥OC，
∵DP＝OC，CP＝OD，
∴DP＝OC＝CP＝OD，
∴四边形DOCP是正方形，故淇淇正确；
故选：C．
7．解：∵DE＝3BE，
∴BD＝4BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝DO＝BD＝2BE，
∴BE＝EO，
又∵AE⊥BO，
∴AB＝AO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，
∴∠ADB＝30°，
又∵AE⊥BD，
∴AE＝AD＝3，
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝，
∵AE⊥BC，
∴△ABC的面积＝BC×AE＝AC×OB，
∴，
设BC＝x，则OB＝2x，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：（x）2﹣（2x）2＝（）2，
解得：x＝，
∴BC＝，
∴菱形ABCD的面积＝BC×AE＝×2＝5；
故选：A．
9．解：连接CF，

∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝17，BE＝7，
∴GF＝GB＝7，BC＝17，
∴GC＝GB+BC＝7+17＝24，
∴CF＝＝25，
∵M，N分别是DC，DF的中点，
∴MN＝CF＝，
故选：D．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵BF＝CE，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE（①正确），∠BAF＝∠CBE，∠AFB＝∠BEC（②错误），
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠DAF＝∠ABE（③正确），
∵△ABF≌△BCE，
∴BF＝CE（④正确），
故选：C．
11．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴OA＝OC＝OD＝OB，
∵∠COB＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，
∵BF⊥AC，
∴OM＝MC，
∴FM是OC的垂直平分线，
∴FO＝FC，故①正确；
∵OB＝CB，FO＝FC，FB＝FB，
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴∠FOB＝∠FCB＝90°，
∵∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴∠OBM＝∠CBM＝30°，
∴∠ABO＝∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF＝∠OAE，
∵OA＝OC，∠AOE＝∠FOC，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∵OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，故②正确；
∵△OBE≌△OBF≌△CBF，
∴③正确；
∵BC＝AD＝2，FM⊥OC，∠CBM＝30°，
∴BM＝3，故④正确；
故选：D．
12．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，
即×12×5＝×13•CD，
解得：CD＝，
∴EF＝．
故答案为：．

13．解：连接FM，FC，

∵四边形ABCD是正方形，EF∥BC，
∴∠BAC＝45°，四边形BCEF为矩形，
∴△AFG为等腰直角三角形，BE＝CF，
∵M是AG的中点，
∴AM＝MG，
则FM⊥AG，
即△FMC是直角三角形，
∵N是FC的中点，
∴MN＝FC，
∵DE＝1，BC＝DC＝4，
∴CE＝3，
∴BE＝FC＝，
∴MN＝FC＝2.5．
故答案为2.5．
14．（1）证明：∵E为AD的中点，
∴DE＝AE＝AD，
∵BC＝AD，
∴DE＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
又∵∠ABD＝90°，E为AD的中点，
∴BE＝AD＝DE，
∴平行四边形BCDE是菱形．
（2）解：如图，
∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BCA，∠BAC＝∠DAC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝BC＝1，
∵BC＝AD，
∴AD＝2，
∵∠ABD＝90°，
∴BD＝＝＝，
由（1）得：四边形BCDE为菱形，
∵E为AD的中点，
∴△BDE的面积＝△ABE的面积，
∴菱形BCDE的面积＝2△BDE的面积＝△ABD的面积＝AB×BD＝×1×＝．

15．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，
∵AE∥CF，
∴∠E＝∠F，∠OBE＝∠ODF，
在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴OE＝OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
16．（1）证明：在△ACD中，点O，E分别为边AC，AD中点，
∴OE为△ACD的中位线，
∴OE∥CD，，
又∵，
∴OF∥CD，OF＝CD，
∴四边形OCDF为平行四边形，
∴FD∥OC，FD＝OC，
∴∠GFD＝∠GCO，∠GDF＝∠GOC，
∴△FGD≌△HGO（ASA）；
（2）解：当时，四边形FOCD是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，OC＝AC，
∵AB＝AC，
∴AB＝CD＝OC，
由（1）得：四边形OCDF为平行四边形，
∴平行四边形FOCD是菱形，
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，
∵点E是▱ABCD中BC边的中点，
∴BE＝CE，
∵∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝FC，
∵AB∥FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
又∵AF＝BC，
∴平行四边形ABFC为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形ABFC为矩形，
∴∠ACF＝90°，
∵△AFD是等边三角形，
∴AF＝DF＝6，CF＝DF＝3，
∴AC＝＝＝3，
∴四边形ABFC的面积＝AC×CF＝3×3＝9．
18．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，
在菱形ABCD中，AD＝AB＝BC＝5，AO＝CO，
∴∠OEC＝∠OCE，
由（1）知，四边形AECF为矩形；
∴∠AEC＝90°，
∵AE＝4，
∴BE＝＝3，
∴CE＝3+5＝8，
在Rt△AEC中，AE＝4，CE＝8，
∴AC＝，
∵AO＝CO，
∴OE＝AC＝2．

19．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE＝BE＝DF＝AF，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC，
在△BCE和△DCF中，，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：
由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，
∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，OE∥BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∴四边形AEOF是正方形．
21．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACD＝∠2，
∴MC＝MD，
∵ME⊥CD，
∴CD＝2CE，
∵CE＝1，
∴CD＝2，
∴BC＝CD＝2；
（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，
∴BF＝CF＝BC，
∴CF＝CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，
在△CEM和△CFM中，
∵，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME＝MF，
延长AB交DF的延长线于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠G，
∴AM＝MG，
在△CDF和△BGF中，
∵，
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF＝DF，
由图形可知，GM＝GF+MF，
∴AM＝DF+ME．