苏科版八年级上册3.2 勾股定理的逆定理教案设计

这是一份苏科版八年级上册3.2 勾股定理的逆定理教案设计，共10页。教案主要包含了学情分析，教学目标，教学重点和难点，教学方法与教学手段，教学过程，课后作业等内容，欢迎下载使用。

本节课是在学习“勾股定理”之后，逆向研究如何判断一个三角形是直角三角形的方法（勾股定理的逆定理），它既是前面知识的深化和应用，同时又是学习解直角三角形相关计算和证明的预备知识，在应用中渗透了数形结合的数学思想，为将来高中学习解析几何打下基础。
二、学情分析
初中是学生智力发展的关键阶段，他的逻辑思维能力将从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随之迅速发展。学生此前学习了三角形的有关知识，掌握了直角三角形的性质和勾股定理，在此基础上学习勾股定理的逆定理可以加深对前面知识的巩固和理解，增强演绎推理、归纳应用和逻辑意识等方面的能力。
三、教学目标
1.知识与能力：探索并掌握直角三角形的判定条件（勾股定理的逆定理）；会用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形，探索怎样的数组是“勾股数”，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。
2.过程与方法：通过勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成的过程。通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验“数”与“形”结合方法的应用。
3.情感、态度与价值观：通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一；通过勾股定理的逆定理的探索活动，渗透合作意识和探究精神。
四、教学重点和难点
1.重点：利用“如果一个三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形”判断一个三角形为直角三角形.
2.难点：了解勾股数的由来，并能用直角三角形的判定条件解决一些简单的实际问题.
五、教学方法与教学手段
教师导学，学生自主探究，合作交流，多媒体课件辅助教学。
六、教学过程
（一）情境导入新课
1.（师放投影一)古巴比伦泥板
师问：美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面密密麻麻的写什么？（学生思考）
师答：古巴比伦泥板上的一些神秘符号实际上是一些数组，（师放投影二）你知道这些数组揭示了什么奥秘吗？ 这节课我们学习这些神秘的数组。教师板书课题：3.2 勾股定理的逆定理。
（二）探索新知
1.动手画一画
用尺规画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）
A. 3,4,3 B. 3,4,5 C. 3,4,6 D. 5,12,13
回答下列问题：
（1）测量：用量角器分别测量一下上述你所画各三角形的最大角的度数，并记录如下：
A：_____；B：______；C：_____D：_____。
（2）判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状。
A：________ B：________
C：________ D：________
（3）找规律：根据上述每个三角形所给的各组边长，请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。
A．锐角三角形 3＋3＞4；
B．直角三角形 3＋4＝5；
C．钝角三角形 3＋4＜6；
D．直角三角形 5＋12＝13。
（4）猜想：想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系式时，这个三角形才可能是直角三角形呢？
猜想：满足较短的两边的平方和等于最长边的平方。
（5）归纳结论：（勾股定理的逆定理）如果三角形的三边长a、b、c满足a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形.
（6）如何证明这个定理呢？（学生自行阅读教材83页，分组讨论交流）
【点评释疑】我们画一个直角三角形A'B'C'， 使∠C'=90°，A'C'=b，B'C'=a，再证明△ABC与△A'B'C'全等（SSS）。于是∠C'=∠C=90°，得出△ABC是直角三角形。
（7）这个定理与勾股定理一样吗？
不一样。勾股定理是先有直角三角形，后有两条直角边的平方和等于斜边的平方；而勾股定理的逆定理是先有三边满足两边的平方和等于第三边的平方，才能判断这个三角形是直角三角形。这个定理是勾股定理的逆定理，它们是一对互逆命题。请同学们务必分清楚！
（8）如何用几何语言表示这个定理？
勾股定理的逆定理：
几何语言： ∵
∴
（9）思考：如何用这个结论来判断一个三角形是否是直角三角形吗？（分组讨论，指名回答）
【点评释疑】勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一，利用它判断的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c,另两条边长分别为a,b）；（2）计算a＋b与c的值，若a＋b＝c，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形。若c＞a＋b,则△ABC为钝三角形（其中c为最大边）；若c＜a＋b则△ABC为锐角三角形（其中c为最大边）。
设计说明：让学生通过动手画图，观察，分析，做出猜想，进一步来验证，最后得出结论，经历这样一个过程，使学生形成自己对数学知识的理解。
探索规律
（1）学生自行阅读教材第84页内容，先独立思考、分析、验证、古巴比伦泥板上的神秘数组，小组内互相交流。师指名回答：你能猜想这些神秘的数组揭示了什么奥秘吗？请你验证你的猜想。
【点评释疑】满足a＋b＝c的3个正整数a,b,c称为勾股数。如：3、4、5是一组勾股数，古巴比伦泥板上神秘数组都是勾股数，利用勾股数可构造直角三角形。通过研究发现：勾股数有无数多组。
（2）请填表并探索规律：
【点评释疑】判断一组数据是否是勾股数，一要看这个三个是否是正整数，二要看是否符合a＋b＝c的形式，两者必须同时满足，缺一不可。
（三）小试牛刀
（1）很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道这个三角形是什么形状吗？并说明理由．
（分组讨论交流，指名回答）
（2）已知△ABC的三边：a=8,b=15,c=17,判定△ABC的形状。
（学生独立思考，指名板书）
（3）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A.3,4,7 B.,, C.16,63,65 ,1.21,1.61
设计说明：让学生通过观察、分析、猜想、验证等过程，发现规律，激发其学习数学兴趣，树立自信心。
（四）典例分析
例1 已知某校有一块四边形空地ABCD，如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m， 若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？
分析：为了解决这个问题，我们可以用“割补”的方法将这个四边形分为两个三角形，再用勾股定理与逆定理求其面积。
解：连接BD，因为∠A＝90°，所以AB+AD=BD，所以BD=5。又因为BD+BC=CD2，所以△BDC是直角三角形。所以四边形空地ABCD面积=△BDC的面积+△ABD的面积=36m。36×100=3600(元）。
答：需投入3600元.
例2（例1变式）要做一个如图所示的零件，按规定∠B与∠D都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗 ？
分析：连接AC，在△ABC中，根据勾股
定理先求出AC，可判断△ADC是直角三角形。
解：符合要求。
连接AC，因为∠B=90°，所以△ABC为直角三角形，所以AC2=AB+BC=625，AC=25。在△ADC中，CD=15，AD=20，AC=25，所以AD+DC=AC,所以△ADC是直角三角形，所以∠D=90°。
设计说明：这两道题是一个小综合，是对学生学完勾股定理与其逆定理的考查，只要加一条辅助线，将四边形“割补”为两个三角形，问题就迎刃而解，但一定要分清先用哪个定理，后用哪个定理，绝对不能将其混淆。
（五）拓展延伸
（1）设△ABC的3条边长分别是a、b、c，且a＝n－1，b＝2n，c＝n＋1．问△ABC是直角三角形吗？请说明理由。
分析：判断一组数能否成为直角三角形的三边，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方即可。
解：△ABC是直角三角形。
理由：因为a+b=(n-1)+(2n)=n4+2n+1=(n+1)，c=(n+1)，所以a+b=c,所以△ABC是直角三角形。
（2）如图，在△ABC中，D为BC边上的点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的长。
分析：根据勾股定理的逆定理可判断出△ABD是直角三角形，即∠ADB＝90°，在Rt△ADC中利用勾股定理可得出CD的长。
解：因为AB＝13，AD＝12，BD＝5，所以AB2＝AD2＋BD2，所以△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，即∠ADC＝90°.
在Rt△ADC中，有AC2＝AD2＋CD2.因为AD＝12，AC＝15，所以DC＝9.
设计说明：通过拓展延伸，让学生进一步巩固勾股定理的逆定理的应用，特别是第二道题，使学生感受数形结合的数学思想。
（六）课堂小结

（七）课后作业
习题3.2（教材85页）第1,2题。
课题：3．2勾股定理的逆定理
情境导入新课 五、拓展延伸
探究活动 六、课堂小结
小试牛刀 七、课后作业
典例分析
板书设计
设计思路：
本节课通过问题情境使学生在动手实践，自主探究，合作交流的过程中发现勾股定理的逆定理，并知道如何判断一个三角形是不是直角三角形，最后发现勾股数的规律，在教学时一定要让学生积极参与所有数学活动，让学生形成自己对数学知识的理解，感受到数学的乐趣.a
3
6
9
12
…
3n
b
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8
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16
…
4n
c
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20
…
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