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必修 第一册第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）教课内容课件ppt
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这是一份必修 第一册第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）教课内容课件ppt，共26页。PPT课件主要包含了情景引入，新知导学，『规律方法』，〔跟踪练习1〕，〔跟踪练习2〕，〔跟踪练习3〕，核心素养等内容，欢迎下载使用。
《三国志·魏书》记载：“邓哀王冲字仓舒，少聪察歧嶷，生五六岁，智意所及，有若成人之智．时孙权曾致巨象，太祖(曹操)欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理．冲曰：‘置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．’太祖大悦，即施行焉．”这就是千古传诵、妇孺皆知的曹冲称象的故事．抛除物理中的浮力原理，这其中就应用了转化化归的思想．那么，在函数和方程中是否也有类似的转化呢？
1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系
2．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使__f(x)＝0__成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的__横坐标_就是函数y＝f(x)的零点．(3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有__交点__⇔函数y＝f(x)有__零点__．
3．函数零点的判定定理
[知识点拨] 判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法：(1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点．(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．
命题方向1 ⇨求函数的零点
典例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
[思路分析] 分别令各个解析式等于0，根据方程是否有根来确定函数的零点．
[解析] (1)令 ，解得x＝－3，所以函数 的零点是－3．(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令2x－3＝0，解得x＝lg23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是lg23．(4)令1－lg3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－lg3x的零点是3．
1．正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
(1)指出下列函数的零点：①f(x)＝x2－2x－3零点为____；②g(x)＝lgx＋2零点为___；(2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝___．
命题方向2 ⇨判断零点所在的区间
典例2 函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )A．(－2，－1)B．(－1，0) C．(0，1)D．(1，2) [思路分析] 根据函数零点的存在性原理判断函数零点所在的区间．
判断函数零点所在区间的方法：一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．
函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点所在的一个区间是( )A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)
命题方向3 ⇨函数零点个数的判断
典例3 函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x12且x2>5C．x1<2，x2>5 D．25
[思路分析] f(x)的图象是由g(x)＝(x－2)(x－5)的图象向下平移1个单位得到的，由g(x)的零点可判断x1，x2的取值范围．[解析] 作出函数g(x)＝(x－2)(x－5)的图象如图，将y＝g(x)的图象向下平移1个单位即得y＝f(x)的图象，由图象易知x1<2，x2>5，故选C．
判断函数零点个数的主要方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．(4)转化成两个函数图象的交点问题．
〔跟踪练习3〕
判断函数f(x)＝x－3＋lnx的零点的个数．
易错题：判断零点个数时出现逻辑错误
典例4 求函数f(x)＝x2－5x＋6在[1，4]上的零点个数．
[错解] 错解一：由题意，得f(1)＝2>0，f(4)＝2>0，因此函数f(x)＝x2－5x＋6在[1，4]上没有零点，即零点个数是0．错解二：∵f(1)＝2>0，f(2.5)＝－0.25<0，∴函数在(1，2.5)内有一个零点；又∵f(4)＝2>0，f(2.5)＝－0.25<0，∴函数在(2.5，4)内有一个零点，∴函数在[1，4]上有两个零点．[错因分析] 对于错解一，是错误地类比零点存在定理，f(a)·f(b)>0时，(a，b)中的零点情况是不确定的，而错解二出现了逻辑错误，当f(a)·f(b)<0时，(a，b)中存在零点，但个数不确定．
[正解1] 由题意，得x2－5x＋6＝0，∴x＝2，x＝3，∴函数的零点是2，3，∴函数在[1，4]上的零点的个数是2．[正解2] ∵f(1)＝2>0，f(2.5)＝－0.25<0，f(4)＝2>0，∴f(x)在(1，2.5)和(2.5，4)内都有零点．又易知f(x)在(－∞，2.5)和(2.5，＋∞)上都是单调函数．∴f(x)在(1，2.5)和(2.5，4)内都只有一个零点．∴f(x)在[1，4]上有两个零点．
当函数y＝f(x)的图象在闭区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，(1)不满足f(a)·f(b)＜0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点．(2)满足f(a)·f(b)<0时，f(x)在(a，b)内必有零点，但不一定只有一个零点．
1．一元二次方程根的分布问题
典例5 已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2m在[0，1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．
[思路分析] f(x)在[0，1]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在[0，1]上有且只有一个根，要注意分类讨论并且不要遗漏在[0，1]上有二重根的情况．[解析] (1)若方程x2－(m－1)x＋2m＝0在[0，1]上有两个相等的实根，则有此时无解．
(2)若方程x2－(m－1)x＋2m＝0有两个不相等的实根，①当有且只有一根在(0，1)上时，有f(0)·f(1)<0，即2m(m＋2)<0，得－2
《三国志·魏书》记载：“邓哀王冲字仓舒，少聪察歧嶷，生五六岁，智意所及，有若成人之智．时孙权曾致巨象，太祖(曹操)欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理．冲曰：‘置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．’太祖大悦，即施行焉．”这就是千古传诵、妇孺皆知的曹冲称象的故事．抛除物理中的浮力原理，这其中就应用了转化化归的思想．那么，在函数和方程中是否也有类似的转化呢？
1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系
2．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使__f(x)＝0__成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的__横坐标_就是函数y＝f(x)的零点．(3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有__交点__⇔函数y＝f(x)有__零点__．
3．函数零点的判定定理
[知识点拨] 判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法：(1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点．(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．
命题方向1 ⇨求函数的零点
典例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
[思路分析] 分别令各个解析式等于0，根据方程是否有根来确定函数的零点．
[解析] (1)令 ，解得x＝－3，所以函数 的零点是－3．(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令2x－3＝0，解得x＝lg23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是lg23．(4)令1－lg3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－lg3x的零点是3．
1．正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
(1)指出下列函数的零点：①f(x)＝x2－2x－3零点为____；②g(x)＝lgx＋2零点为___；(2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝___．
命题方向2 ⇨判断零点所在的区间
典例2 函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )A．(－2，－1)B．(－1，0) C．(0，1)D．(1，2) [思路分析] 根据函数零点的存在性原理判断函数零点所在的区间．
判断函数零点所在区间的方法：一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．
函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点所在的一个区间是( )A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)
命题方向3 ⇨函数零点个数的判断
典例3 函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1
[思路分析] f(x)的图象是由g(x)＝(x－2)(x－5)的图象向下平移1个单位得到的，由g(x)的零点可判断x1，x2的取值范围．[解析] 作出函数g(x)＝(x－2)(x－5)的图象如图，将y＝g(x)的图象向下平移1个单位即得y＝f(x)的图象，由图象易知x1<2，x2>5，故选C．
判断函数零点个数的主要方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．(4)转化成两个函数图象的交点问题．
〔跟踪练习3〕
判断函数f(x)＝x－3＋lnx的零点的个数．
易错题：判断零点个数时出现逻辑错误
典例4 求函数f(x)＝x2－5x＋6在[1，4]上的零点个数．
[错解] 错解一：由题意，得f(1)＝2>0，f(4)＝2>0，因此函数f(x)＝x2－5x＋6在[1，4]上没有零点，即零点个数是0．错解二：∵f(1)＝2>0，f(2.5)＝－0.25<0，∴函数在(1，2.5)内有一个零点；又∵f(4)＝2>0，f(2.5)＝－0.25<0，∴函数在(2.5，4)内有一个零点，∴函数在[1，4]上有两个零点．[错因分析] 对于错解一，是错误地类比零点存在定理，f(a)·f(b)>0时，(a，b)中的零点情况是不确定的，而错解二出现了逻辑错误，当f(a)·f(b)<0时，(a，b)中存在零点，但个数不确定．
[正解1] 由题意，得x2－5x＋6＝0，∴x＝2，x＝3，∴函数的零点是2，3，∴函数在[1，4]上的零点的个数是2．[正解2] ∵f(1)＝2>0，f(2.5)＝－0.25<0，f(4)＝2>0，∴f(x)在(1，2.5)和(2.5，4)内都有零点．又易知f(x)在(－∞，2.5)和(2.5，＋∞)上都是单调函数．∴f(x)在(1，2.5)和(2.5，4)内都只有一个零点．∴f(x)在[1，4]上有两个零点．
当函数y＝f(x)的图象在闭区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，(1)不满足f(a)·f(b)＜0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点．(2)满足f(a)·f(b)<0时，f(x)在(a，b)内必有零点，但不一定只有一个零点．
1．一元二次方程根的分布问题
典例5 已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2m在[0，1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．
[思路分析] f(x)在[0，1]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在[0，1]上有且只有一个根，要注意分类讨论并且不要遗漏在[0，1]上有二重根的情况．[解析] (1)若方程x2－(m－1)x＋2m＝0在[0，1]上有两个相等的实根，则有此时无解．
(2)若方程x2－(m－1)x＋2m＝0有两个不相等的实根，①当有且只有一根在(0，1)上时，有f(0)·f(1)<0，即2m(m＋2)<0，得－2
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