初中数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似综合与测试练习题

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第4章 图形的相似（基础卷）
一、单选题
1．如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用相似多边形的判定方法判断即可．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；
B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
故选：A．
【】本题考查了相似多边形的定义，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
2．下列各组线段的长度中，不是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】C
【分析】根据比例线段的定义分别计算即可得到正确答案
【详解】A选项：，所以是成比例线段，不符合题意，故A错误；
B选项：，所以是成比例线段，不符合题意，故B错误；
C选项：，所以不是成比例线段，符合题意，故C正确；
D选项：，所以是成比例线段，不符合题意，故D错误．
故选C．
【】本题考查比例线段的定义，掌握定义并正确计算是解决此题的关键
3．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，则下列角的度数正确的是（　　）

A．∠D＝81° B．∠F＝83° C．∠G＝78° D．∠H＝76°
【答案】D
【分析】直接利用相似多边形的性质得出对应角相等进而得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，
∴∠B=∠F=78°，∠A=∠E=118°，∠C=∠G=88°，
∴∠D=∠H=360°-78°-118°-88°=76°．
故选：D．
【】本题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应角相等是解题关键．
4．如果两个相似多边形的相似比为1：5，则它们的面积比为（ ）
A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．
【答案】A
【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．
【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为1：5，
∴它们的面积比=12：52=1：25．
故选：A．
【】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
5．已知△ABC的各边长分别为2、5、6，与其相似的另一个△A′B′C′的最大边为18，则△ABC与的面积比等于（　　）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．4：9
【答案】C
【分析】根据两个三角形的最长边确定两个相似三角形的相似比，然后根据相似比确定面积的比即可．
【详解】解：∵△ABC的各边长分别为2、5、6，与其相似的另一个的最大边为18，
∴两三角形的相似比为6：18＝1：3，
∴△ABC与的面积比为（1：3）2＝1：9，
故选：C．
【】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是边AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为点D，则AD的长是（　　）

A．16 B． C．6 D．4
【答案】D
【分析】由题意可得∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，从而可判定△ADE∽△ACB，由相似三角形的性质得出比例式，再将相关线段的长代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴AD∶AC＝AE∶AB，
∵AB＝10，AC＝8，AE＝5，
∴AD∶8＝5∶10，
∴AD＝4．
故选：D．
【】本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
7．若四边形四边形，它们的面积比是，则它们的周长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用相似多边形的面积比等于周长比的平方即可选择．
【详解】解：∵四边形四边形，它们的面积比为，
∴它们的周长比．
故选：B．
【】本题考查相似多边形的性质．熟知相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解答本题的关键．
8．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，则＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，由证明 可得 从而可得答案．
【详解】解：如图，



AD＝2，DB＝3，


故选：
【】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9．如图，两条直线被第三条平行所截，，，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例得到，将数据代入即可求出答案．
【详解】解：，
，
，，，
，
，
．
故选：D．
【】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
10．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，＝，则S四边形EFGH÷S四边形ABCD＝（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【详解】∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，＝
∴＝＝
则＝＝
故选：B
【】本题考查了位似的概念、相似多边形的性质，注意：根据性质，面积的比等于相似比的平方，而不是等于相似比，也不是等于的平方．
二、填空题
11．线段，点为线段的黄金分割点（），则的长为______．
【答案】
【分析】根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可．
【详解】解：线段，点是线段的黄金分割点，
，
故答案为：．
【】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
12．如图所示的两个五边形相似，则_____，______，_______，______．


【答案】3 4.5 4 6
【分析】根据相似多边形的性质，得到比例式，计算即可．
【详解】解：∵两个五边形相似，
∴，，，，
解得，a＝3，b＝4.5，c＝4，d＝6．
【】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：对应角相等；对应边成比例是解题的关键．
13．如图AB∥CD∥EF，若，，则______．

【答案】
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，求出BD即可．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝ ，
∵DF＝5，
∴BD＝，
∴BD＝DF+BD＝5+＝，
故答案为：．
【】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
14．如图，、交于点，，若，，，则__．

【答案】2
【分析】由AB∥DE，即可证得△ABC∽△ECD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CE的长．
【详解】解：，
，
，
，，，
，
解得：．
故答案为：2
【】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
15．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，已知∠ADC＝∠ACB，AC＝8，AB＝12，则AD的长为_____．

【答案】
【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得，即，由此即可解决问题．
【详解】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴，
∵AC＝8，AB＝12，
∴．
故答案为：．
【】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
16．如图，，且，，，则的长度为______．

【答案】5.25
【分析】根据，可得 ，从而 ，再由，，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴ ，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∵，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
17．两个相似三角形周长之比为，面积之差为，则它们的面积之和为_____．
【答案】26
【分析】由两个相似三角形的周长比为2：3，根据相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积比，又由它们的面积之差为10cm2，即可求得答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比为：4：9，
设此两个三角形的面积分别为4xcm2，9xcm2，
∵它们的面积之差为10cm2，
∴9x-4x=10，
解得：x=2，
∴它们的面积之和是：9x+4x=13x=26（cm2）．
故答案为：26．
【】此题考查了相似三角形的性质．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用．
18．如图，一个矩形的长，宽，E、F分别是的中点，连接E、F，所得新矩形与原矩形相似，则的值=_______．

【答案】
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，
∴＝，即，即，
∵为正数，
∴，
∴a：b＝，
故答案为：．
【】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似四边形的对应边的比相等是解题的关键．
19．如图，在平直角坐标系中，的顶点都在坐标轴上，．若是以原点为位似中心，的位似图形（为点 的对应点），且与相似比为，则点的坐标为______．

【答案】或
【分析】根据位似图形的性质，可得到，从而得到 ，即可求出点的坐标．
【详解】解： ∵是以原点为位似中心，的位似图形（为点 的对应点），
∴点 在 轴上，
∵与相似比为，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴点的坐标为 或．
故答案为： 或．
【】本题主要考查了位似图形与坐标，熟练掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或一k是解题的关键．
20．在平行四边形中，为对角线，点在射线上，，连接交于点，则值是__________________．
【答案】或
【分析】分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，利用平行四边形的性质根据三角形相似求解即可．
【详解】解：①如图，当点在上时，

四边形为平行四边形，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
,，
，
；
②如图，当点在延长线上时，

四边形为平行四边形，
，
，
，
四边形为平行四边形，，
，
,
,
，
故答案为：或．
【】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟记平行四边形的性质及相似三角形的判定．
三、解答题
21．如图，乐器上的一根弦，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C、D之间的距离．

【答案】（80﹣160）cm．
【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可．
【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC＝BD＝80×＝（40﹣40）cm，
∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝（80﹣160）cm．
【】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
22．已知线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若线段a、b、c满足，求的值．
【答案】（1），（2）15．
【分析】（1）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，代入即可求出的值；
（2）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，利用a+b+c＝27求出k的值，即可得出答案．
【详解】解：（1）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，
；
（2）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，
∵a+b+c＝45，
∴4k+5k+6k＝45，
∴k＝3，
∴a＝12，b＝15，c＝18，
∴a﹣b+c＝12﹣15+18＝15．
【】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a＝4k，b＝5k，c＝6k进而得出k的值是解题关键．
23．人体下半身（脚底到肚脐的长度）与身高的比例越接近0.618，越给人美感遗憾的是，即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美某女士，身高，下半身，她应选择多高的高跟鞋看起来更美呢？（精确到）
【答案】0.05．
【分析】根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可．
【详解】解：设她应选择高跟鞋的高度是xm，则＝0.618，
解得：x≈0.05m．
经检验，x≈0.05是原方程的解，
故本题答案为：0.05．
【】本题考查了比例线段和分式方程，解题关键是根据题意设未知数列出方程．注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度．
24．如图，四边形和相似，求角的大小和的长度x．

【答案】α＝83°，β＝81°，x＝28．
【分析】根据相似多边形的对应角相等可得出α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，再根据四边形的内角和等于360°可计算求出β的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出EH的长度x．
【详解】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，
∴α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，EH：AD＝EF：AB，
∴x：21＝24：18，解得x＝28．
在四边形EFGH中，β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°．
∴∠G＝∠C＝67°．
故α＝83°，β＝81°，x＝28．
【】本题考查了相似多边形的对应角相等，对应边成比例的性质，四边形的内角和等于360°，熟记性质并熟练运用是求解的关键．
25．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点E．求证：
（1）APB≌APD；
（2）PD2＝PE•PF．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，由“SAS”可证△ABP≌△ADP；
（2）由全等三角形的性质可得PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，通过证明△EPB∽△BPF，可得，可得结论．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（SAS）；
（2）∵△ABP≌△ADP，
∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，
∵ADBC，
∴∠ADP＝∠E，
∴∠E＝∠ABP，
又∵∠FPB＝∠EPB，
∴△EPB∽△BPF，
∴，
∴PB2＝PE•PF，
∴PD2＝PE•PF．
【】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等与相似的判定方法．
26．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，8），B（4，2），C（8，6）．在第一象限内，画出以原点O为位似中心，与△ABC的相似比为的△A1B1C1，并写出A1，C1点的坐标．

【答案】见解析，A1（2，4），C1（4，3）
【分析】把A、B、C的横纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可．
【详解】如图，△A1B1C1为所作，A1（2，4），C1（4，3）．

【】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，解答本题的关键是掌握位似变换的定义．
27．如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H．
（1）求HD的长；
（2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示）

【答案】（1）2；（2）
【分析】（1）根据平行四边形的性质得，根据相似三角形的判定得，，由BE=EF=FD可得出，，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）由BE=EF可得与的面积相等，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得与的值，-即可得四边形AEFH的面积．
【详解】解：（1）∵平行四边形ABCD，BC=8，
∴，=8，
∴，，
∴，，
∵BE=EF=FD，
∴，，
∴BG=AD=4，HD=BG，
∴HD=2；
（2）∵BE=EF，
∴=a，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴四边形AEFH的面积=-=．
【】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
28．如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止.
（1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP ∽△PCD
（2）如图3，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由
（3）设AE，连结EF，则在旋转过程中，当为何值时，△BPE与△PEF相似.

【答案】（1）见解析；（2）的值是定值，该定值为 ；（3）当或时，△BPE与△PEF相似
【分析】（1）因为在矩形中，所以只要再证明∠BAP=∠CPD即可；（2）证明边比为定值，考虑相似三角形，过点F作FG⊥BC于G，创造△PGF并证明其与△EBP 相似；（3）使△BPE ∽△PFE，那么，算出m值，反证相似.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=90°
∴∠BAP+∠BPA=90°
∵∠MPN=90°
∴∠CPD+∠BPA=90°
∴∠BAP=∠CPD
∴△ABP ∽△PCD
（2）过点F作FG⊥BC于G
∴∠FGP=90°
∴∠FGP=∠B，∠PFG+∠FPG=90°
易知四边形ABGF是矩形，
∴FG=AB=2
∵∠MPN=90°
∴∠EPB+∠FPG=90°
∴∠EPB=∠FPG
∴△EBP ∽△PGF
∴
∴的值是定值，该定值为
（3）∵AE
∴BE
①当时，
∵∠B=∠EPF=90°
∴△BPE ∽△PFE
∴
∴
∴
②当时，
∵∠B=∠EPF=90°
∴△BPE ∽△PEF
∴
∴
∴
综上，当或时，△BPE与△PEF相似.
【】本题考察了相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交；两边对应成比例且夹角相等；三边对应成比例；两角对应相等以及性质定理：对应角相等，对应边成比例.