高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课后测评

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.不等式≥0的解集为(　　)

A.{x|-6≤x≤1} B.{x|x≥1,或x≤-6}

C.{x|-6≤x<1} D.{x|x>1,或x≤-6}

答案C

解析不等式≥0等价于解得-6≤x<1.故解集为{x|-6≤x<1}.

2.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则实数a的取值范围是(　　)

A.{a|a≤-4,或a≥4} B.{a|-4≤a≤4}

C.{a|a<-4,或a>4} D.{a|-4<a<4}

答案B

解析因为不等式x2+ax+4<0的解集为空集,所以方程x2+ax+4=0的根的判别式Δ≤0,因此a2-16≤0,解得-4≤a≤4.

3.若不等式ax2+ax+a+3≥0对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.{a|-4<a<0} B.{a|a<-4,或a>0}

C.{a|a≥0} D.{a|-4<a≤0}

答案C

解析当a=0时,不等式为3>0,满足题意;

当a≠0,需满足

解得a>0.

综上可得,a的取值范围为{a|a≥0}.

4.若m,n∈R,且m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集为(　　)

A.{x|x<-n,或x>m} B.{x|-n<x<m}

C.{x|-m<x<n} D.{x|x<-m,或x>n}

答案B

解析(m-x)(n+x)>0,则(x-m)(n+x)<0,因为m+n>0,所以m>-n,(x-m)(n+x)<0的解集为{x|-n<x<m}.

5.(多选题)(2021山东聊城高一期末)不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤x≤2},对于系数a,b,c,下列结论正确的是(　　)

A.a+b=0 B.a+b+c>0

C.c>0 D.b<0

答案ABC

解析由不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤x≤2}可得a<0,且ax2+bx+c=0的两个根为-1,2,由一元二次方程根与系数的关系可知-=-1+2=1>0,所以b=-a,b>0,故A正确,D错误;由=-2,则c>0,故C正确;依题意二次函数y=ax2+bx+c开口向下,且二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标是-1,2,因此当x=1时,f(1)=a+b+c>0,故B正确.故选ABC.

6.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:

则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是　　　　　. 

答案{x|x<-2,或x>3}

解析根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)图象的草图如图.由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2,或x>3}.

7.若关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a∈R)的解集为,则a的取值范围为　　　　　. 

答案{a|a>1}

解析不等式ax2-(a+1)x+1<0可化为(ax-1)(x-1)<0,由不等式ax2-(a+1)x+1<0的解集为,得a>0,则方程(ax-1)(x-1)=0的两根为x1=1,x2=,且<1,所以a的取值范围为a>1.

8.已知二次函数y=x2+mx-6(m>0)的两个零点为x1和x2,且x2-x1=5.

(1)求函数的解析式;

(2)解关于x的不等式y<4-2x.

解(1)由题意得x2+mx-6=0(m>0)的两个根为x1和x2,由韦达定理得

故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=m2+24=25,

解得m2=1,

∵m>0,∴m=1,∴y=x2+x-6.

(2)由y<4-2x,得x2+x-6<4-2x,即x2+3x-10<0,对应方程的两根为-5和2,且对应抛物线开口向上,解得-5<x<2,故不等式的解集是{x|-5<x<2}.

等级考提升练

9.(2021江苏淮安高二期末)不等式<x的解集是(　　)

A.{x|0<x≤2} B.{x|x>2}

C.{x|2<x≤4} D.{x|x>0,或x<4}

答案C

解析由题意得

解得2<x≤4,故选C.

10.(2020安徽高二期末)若关于x的不等式x2-(m+2)x+2m<0的解集中恰有4个正整数,则实数m的取值范围为(　　)

A.{m|6<m≤7} B.{m|6<m<7}

C.{m|6≤m<7} D.{m|m>6}

答案A

解析原不等式可化为(x-2)(x-m)<0,若m<2,则解得m<x<2,不等式的解集中不可能有4个正整数;若m=2,则不等式的解集为空集,不合题意;

若m>2,则解得2<x<m,所以该不等式的解集中的4个正整数分别是3,4,5,6,所以6<m≤7.故实数m的取值范围是{m|6<m≤7}.

11.(多选题)(2021湖南郴州高一期末)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<3},则(　　)

A.a>0

B.不等式ax+c>0的解集为{x|x<6}

C.a+b+c>0

D.不等式cx2-bx+a<0的解集为x-<x<

答案BCD

解析因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<3},

所以-2和3是方程ax2+bx+c=0的两个实根,且a<0,故A错误;

由题得,-2+3=-,-2×3=,所以b=-a,c=-6a,

则不等式ax+c>0可化为ax-6a>0,

因为a<0,所以x<6,故B正确;

因为a+b+c=a-a-6a=-6a,

又a<0,所以a+b+c>0,故C正确;

不等式cx2-bx+a<0可化为-6ax2+ax+a<0,

又a<0,所以-6x2+x+1>0,即6x2-x-1<0,

即(3x+1)(2x-1)<0,解得-<x<,故D正确.故选BCD.

12.(多选题)(2021浙江名校联合体高一期末)若不等式ax2+x-(a+1)≥0的解集是{x|-2≤x≤1}的子集,则实数a的取值可以是(　　)

A.-1 B.0

C.- D.-

答案AD

解析当a=0时,不等式ax2+x-(a+1)=x-1≥0,解得x≥1,不满足题意;

当a≠0时,由于不等式ax2+x-(a+1)≥0的解集是{x|-2≤x≤1}的子集,

则a<0,解方程ax2+x-(a+1)=0,

即(ax+a+1)(x-1)=0,

解得x1=-,x2=1.

由题意可得-2≤-≤1,解得a≤-.故AD选项满足题意,BC选项不满足题意.故选AD.

13.若1≤x≤2时,不等式x2+mx+m≥0恒成立,则实数m的最小值为　　　　　. 

答案-

解析令y=x2+mx+m,若1≤x≤2时,不等式x2+mx+m≥0恒成立,

则有Δ=m2-4m≤0,

或

解得m≥-,实数m的最小值为-.

14.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b}.

(1)求a,b的值;

(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.

解(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.

由根与系数的关系,得

解得

(2)由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc<0可化为x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.

当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};

当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2};

当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为⌀.

15.某摩托车生产企业上年度生产摩托车投入成本1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;

(2)为使本年度的年利润比上一年有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?

解(1)依题意,得y=[1.2(1+0.75x)-(1+x)]×1000×(1+0.6x)=1000(-0.06x2+0.02x+0.2).

则所求关系式为y=1000(-0.06x2+0.02x+0.2)(0<x<1).

(2)依题意,得1000(-0.06x2+0.02x+0.2)>(1.2-1)×1000.化简,得3x2-x<0,解得0<x<.故投入成本增加的比例x的取值范围是x0<x<.

16.(2021江苏南京高二期末)已知集合A={x|x2-4x+3≤0},B=　　　　　.若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,给出如下三个条件:①{x|a-1≤x≤a},②{x|a≤x≤a+2},③{x|≤x≤+3}.请从中任选一个补充到横线上.若问题中的a存在,求出a的取值范围. 

解A={x|x2-4x+3≤0}={x|1≤x≤3},

若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则集合B是集合A的真子集,

若选①,B={x|a-1≤x≤a},

则解得2≤a≤3,

即a的取值范围为{a|2≤a≤3}.

若选②,B={x|a≤x≤a+2},

则解得a=1,

此时A=B,故“x∈A”是“x∈B”的充要条件,不满足题意,故无解.

若选③,B={x|≤x≤+3},

则方程组无解.

即不存在a满足“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.

新情境创新练

17.已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0的解集为A,其中k∈R.

(1)若5∈A,求实数k的取值范围;

(2)求不等式的解集A;

(3)是否存在实数k,使得上述不等式的解集A中只有有限个整数?若存在,求出使得A中整数个数最少的k的值;若不存在,请说明理由.

解(1)由题意(5k-k2-4)(5-4)>0,解得1<k<4,所以k的取值范围是{k|1<k<4}.

(2)当k=0时,不等式化为x-4<0,A={x|x<4};

当k>0时,不等式化为x-k-(x-4)>0.

当k>0且k≠2时,因为k+>4,

所以A=xx<4,或x>k+;

当k=2时,A={x|x≠4};

当k<0时,不等式化为x-k-(x-4)<0,A=xk+<x<4.

(3)存在k=-2满足题意.

由(1)知,当k≥0时,A中整数的个数为无限个;

当k<0时,A中整数的个数为有限个.

因为k+≤-4,当且仅当k=-2时,等号成立,

所以当k=-2时,A中整数的个数最少.