苏教版 (2019)必修 第二册第12章 复数12.2 复数的运算第1课时同步练习题

第1课时　复数的加减运算

【概念认知】

　复数加、减法的运算法则及加法运算律

(1)加、减法的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．

即：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).

(2)加法运算律

对任意z1，z2，z3∈C，有

①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).

【自我小测】

1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是(　　)

A．1    B．2    C．－2    D．－1

【解析】选A.z1－z2＝y＋xi－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，所以

所以x＝y＝1.所以xy＝1.

2．已知i是虚数单位，那么(3＋i)＋(1＋2i)＝(　　)

A．2＋3i     B．4＋i

C．4＋2i     D．4＋3i

【解析】选D.(3＋i)＋(1＋2i)＝4＋3i.

3．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)

A．－1＋i　　　    B．1－i    C．i    D．－i

【解析】选A.(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.

4．若复数z满足z＋＝1，则z的虚部是(　　)

A．－2     B．4     C．－3     D．3

【解析】选B.因为z＋＝1，所以z＝－2＋4i，所以z的虚部是4.

5．下面四个说法：①0比－i大；②两个复数当且仅当其和为实数时，它们的虚部互为相反数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④任何纯虚数的平方都是负实数．其中错误说法的序号是________．

【解析】①实数与虚数不能比较大小，故错误；

②两个复数当且仅当其和为实数时，它们的虚部互为相反数，正确；③当y＝－i，x＝i时，x＋yi＝1＋i，所以x＋yi＝1＋i时，不一定x＝y＝1，故错误；④若z＝bi为纯虚数，则z2＝－b2<0，故正确．

答案：①③

6．计算：(1)＋(2－i)－；

(2)(5－5i)＋(－2－i)－(3＋4i).

【解析】(1)＋(2－i)－

＝＋i＝1＋i.

(2)(5－5i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)－(5＋1＋4)i＝－10i.

【基础全面练】

一、单选题

1．(2＋i)＋(3＋i)＝(　　)

A．5＋2i    B．5＋5i    C．6＋i    D．6＋5i

【解析】选A.(2＋i)＋(3＋i)＝5＋2i.

2．已知z＋3－2i＝4＋i，则z等于(　　)

A．1＋i       B．1＋3i

C．－1－i      D．－1－3i

【解析】选B.因为z＋3－2i＝4＋i，所以z＝4＋i－3(3－2i)＝1＋3i.

3．复数z1＝－i，z2＝5＋3i，若z1－z＝z2，则复数z＝(　　)

A．－5－4i    B．5＋2i

C．－5＋4i    D．i

【解析】选A.因为z1－z＝z2，所以z＝z1－z2＝－i－(5＋3i)＝－5－4i.

4．已知复数z为纯虚数，且z－4i＋1＝m－3i，则z为(　　)

A．i    B．3i    C．i    D．－2i

【解析】选A.由z－4i＋1＝m－3i，得z＝m－1＋i，所以z＝i.

5．定义运算＝ad－bc，则(i是虚数单位)为(　　)

A．3　    B．－3　    C．i2－1　    D．i2＋2

【解析】选B.因为运算＝ad－bc，

所以＝i2－1×2＝－1－2＝－3.

二、填空题

6．复数z＝(5＋2i)－i2，则z＋(－1＋4i)＝________；z的虚部为________．

【解析】z＝5＋2i－(－1)＝6＋2i，所以z＋(－1＋4i)＝6＋2i－1＋4i＝5＋6i.

答案：5＋6i　2

7．若复数z1＝＋5i，且z1－z∈R，则复数z1的虚部为

________；若z是纯虚数，则z＝________．

【解析】z1的虚部为5，因为z是纯虚数，且z1－z∈R，所以z＝5i.

答案：5　5i

8．计算(－3＋2i)－＋(i＋i2)＝________．

【解析】原式＝＋(2＋1＋1)i＝－＋4i.

答案：－＋4i

9．设实数x，y，θ满足以下关系：x＋yi＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，则x2＋y2的最大值是________．

【解析】因为x＋yi＝(3＋5cos θ)＋i(－4＋5sin θ)，

所以x2＋y2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2

＝50＋30cos θ－40sin θ＝50＋50cos (θ＋φ)，

其中sin φ＝，cos φ＝.

所以(x2＋y2)max＝50＋50＝100.

答案：100

三、解答题

10．化简下列复数：

(1)＋；

(2)＋－.

【解析】(1)＋，

＝＋i＝9－3i.

(2)＋－，

＝＋i＝－11i.

11．已知z1＝2a＋i，z2＝4－3i，z3＝a－ai，a∈R，若z1－z2－z3为实数，求a值．

【解析】因为z1－z2－z3＝(a－4)＋(4＋a)i∈R，

所以a＋4＝0，

所以a＝－4.

【综合突破练】

一、选择题

1．设z1＝2－i2，z2＝－5＋2i，则z1＋z2＝(　　)

A．－2＋i     B．－3＋2i

C．－3＋i     D．－2＋2i

【解析】选D.因为z1＝2＋1＝3，z2＝－5＋2i，所以z1＋z2＝－2＋2i.

2．设复数z1＝4＋2i，z2＝1－3i，则复数z2－的虚部是(　　)

A．4i     B．－4i     C．4     D．－4

【解析】选D.z2－＝(1－3i)－＝－1－4i，

则其虚部是－4.

3．(多选)若z1＝2a＋i，z2＝－2＋ai(a∈R)，且复数z1＋z2的实部或虚部为零，则a的值可能为(　　)

A．3    B．2    C．1    D．－1

【解析】选CD.z1＋z2＝2a＋i－2＋ai＝(2a－2)＋(1＋a)i.所以2a－2＝0或1＋a＝0，所以a＝1或a＝－1.

【光速解题】选CD.求出z1＋z2后，把四个选项逐项代入，验证可立即得到答案．

二、填空题

4．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________．

【解析】由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以解得a＝3.

答案：3

5．若f(z)＝z＋(5－3i)，则f＝________．

【解析】f＝－i＝－i.

答案：－i

6．若(a＋1)＋2i＝2＋(b－1)i(a·b∈R)，则(a＋bi)－(4－i)＝________．

【解析】由题意所以所以(1＋3i)－(4－i)＝－3＋4i.

答案：－3＋4i

7．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R).设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________．

【解析】z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]

－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]

＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，

所以解得

所以z1＝5－9i，z2＝－8－7i.

答案：5－9i　－8－7i

三、解答题

8．证明复数的加法满足交换律、结合律．

【证明】复数的加法满足交换律．

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则有z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i，

因为a＋c＝c＋a，b＋d＝d＋b，所以z1＋z2＝z2＋z1.即复数的加法满足交换律．

复数的加法满足结合律．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z3＝e＋fi(a，b，c，d，e，f∈R)有＋z3＝[(a＋bi)＋(c＋di)]＋(e＋fi)

＝[(a＋c)＋(b＋d)i]＋(e＋fi)

＝(a＋c＋e)＋(b＋d＋f)i，

z1＋＝(a＋bi)＋[(c＋di)＋(e＋fi)]

＝(a＋bi)＋[(c＋e)＋(d＋f)i]

＝(a＋c＋e)＋(b＋d＋f)i

所以＋z3＝z1＋，

即复数的加法满足结合律．

9．已知复数z1＝1＋ai，z2＝2a－3i，z3＝a2＋i(a∈R).

(1)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是实数？

(2)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是纯虚数？

【解析】(1)由题意，知z1－z2＋z3＝(1＋ai)－(2a－3i)＋(a2＋i)＝1－2a＋a2＋(a＋4)i.若复数z1－z2＋z3是实数，则a＋4＝0，即a＝－4.

(2)若复数z1－z2＋z3是纯虚数，

则即a＝1.