苏教版 (2019)必修 第二册12.3 复数的几何意义达标测试

章末综合测评(四)　复数

(满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知a，b∈C，下列命题正确的是(　　)

A．3i<5i   B．a＝0⇔|a|＝0

C．若|a|＝|b|，则a＝±b   D．a2≥0

B　[A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，b∈R时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝，但i≠－＋i或－i；D选项中，当a∈R时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2＝－1<0.]

2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)

A．－4  B．－  C．4  D．

D　[因为复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，所以z＝＝＝＝＋i，故z的虚部等于.]

3．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的(　　)

A．充分不必要条件　   B．必要不充分条件

C．充要条件　   D．既不充分也不必要条件

A　[因为z1＝z2，所以解得m＝1或m＝－2，所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．]

4.如图，在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i， 0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(　　)

A．3＋i

B．3－i

C．1－3i

D．－1＋3i

D　[＝＋＝1＋2i－2＋i＝－1＋3i，所以C对应的复数为－1＋3i.]

5．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)

A．1  B.  C．  D．2

B　[∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.

又∵x，y∈R，

∴x＝1，y＝x＝1.

∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.]

6．若1＋x＋x2＝0，则1＋x＋x2＋…＋x100＝(　　)

A．0   B．1

C．－±i   D．±i

D　[因为1＋x＋x2＝0，

所以x＝－±i，

又1＋x＋x2＋…＋x100

＝1＋x＋x2(1＋x＋x2)＋…＋x98(1＋x＋x2)

＝1＋x＝1＋

＝±i.]

7．复数2＋i与复数在复平面上的对应点分别是A，B，若O为坐标原点，则∠AOB等于(　　)

A．  B．  C．  D．

B　[∵＝＝－i，

∴它在复平面上的对应点为B，

而复数2＋i在复平面上的对应点是A(2，1)，

显然AO＝，BO＝，AB＝.

由余弦定理得cos ∠AOB＝＝，∴∠AOB＝.故选B.]

8．设z1，z2为复数，则下列四个结论中正确的是(　　)

A．若z＋z＞0，则z＞－z

B．|z1－z2|＝

C．z＋z＝0⇔z1＝z2＝0

D．z1－1是纯虚数或零

D　[举例说明：若z1＝4＋i，z2＝2－2i，则z＝15＋8i，z＝－8i，z＋z＞0，但z与－z都是虚数，不能比较大小，故A错；因为|z1－z2|2不一定等于(z1－z2)2，故|z1－z2|与不一定相等，B错；若z1＝2＋i，z2＝1－2i，则z＝3＋4i，z＝－3－4i，z＋z＝0，但z1＝z2＝0不成立，故C错；设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则1＝a－bi，故z1－1＝2bi，当b＝0时是零，当b≠0时，是纯虚数．故D正确．]

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)

9．已知复数z的共轭复数为，则下列关系中一定正确的是(　　)

A．||＝|z|　　   B．z·>0

C．＋z∈R　　   D．若＝z，则z2≥0

ACD　[设z＝x＋yi，(x，y∈R)，则＝x－yi，所以，||＝|z|＝，

z·＝(x＋yi)(x－yi)＝x2＋y2≥0，＋z＝2x∈R，

所以AC正确，B错误；

因为＝z，所以y＝0，所以z2＝x2≥0，所以D正确，故选ACD.]

10．复数z＝a－1＋3ai  (i为虚数单位， a∈R)在复平面内对应的点Z可能经过(　　)

A．第一象限　   B．第二象限

C．第三象限　　   D．第四象限

ABC　[因为复数z在复平面内对应的点Z(a－1，3a)始终在直线3x－y＋3＝0上，因为该直线经过第一、二、三象限，故选ABC.]

11．如果复数z＝，则下面正确的是(　　)

A．z的共轭复数为－1＋i

B．z的虚部为－1

C．|z|＝2

D．z的实部为－1

ABD　[因为z＝＝＝＝－1－i，

所以z的实部为－1，共轭复数为－1＋i，故选ABD. ]

12．在复平面内，下列命题是真命题的是(　　)

A．若复数z满足∈R，则z∈R

B．若复数z满足z2∈R，则z∈R

C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝

D．若复数z∈R，则∈R

AD　[对于A，设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝＝－i，

若∈R，则b＝0，所以z＝a∈R，故A真命题；对于B，若复数z＝i，则z2＝－1∈R，但z∉R，故B假命题；

对于C，若复数z1＝i，z2＝2i满足z1z2＝－2∈R，但z1≠2，故C为假命题；

对于D，若复数z＝a＋bi∈R，则b＝0，＝z∈R，故D为真命题. 故选AD. ]

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．

8　[a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.从而a＋b＝8.]

14．已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i(i为虚数单位)，则＝________；若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，则|z|＝________.(本题第一空2分，第二空3分)

－1＋5i　　[因为z1＝1－i，z2＝4＋6i，所以＝＝＝＝－1＋5i.

因为z＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z1＝2＋(b－1)i，又因为z＋z1为实数，所以b－1＝0，得b＝1.所以z＝1＋i，

则|z|＝.]

15．向量对应的复数为－1＋i，把绕点O按顺时针方向旋转90°，得到.则向量对应的复数的辐角主值为__________．

 　[向量对应的复数为＝＝－(－1＋i)i＝1＋i＝.所以该辐角主值为.]

16．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.

4i　[设m＝bi(b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，

即解得∴m＝4i.]

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)计算：

(1)(＋i)2(4＋5i)；

(2)＋；

(3).

[解]　(1)(＋i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)

＝4i(4＋5i)

＝－20＋16i.

(2)＋

＝＋

＝i(1＋i)＋

＝－1＋i＋(－i)1 010

＝－1＋i－1

＝－2＋i.

(3)＝

＝

＝

＝

＝－－i.

18．(本小题满分12分)在①z<0；②z为虚数；③z为纯虚数．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．

已知复数：z＝(m2－2m－8)＋(m2－4)i.

(1)若________，求实数m的值；

(2)若复数z－m2(1＋i)＋8的模为2，求m的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

[解]　(1)选择①，z<0，则，解得m＝2.

选择②，z为虚数，则m2－4≠0，解得m≠±2.

选择③，z为纯虚数，则m2－2m－8＝0，m2－4≠0，解得m＝4.

(2)z＝(m2－2m－8)＋(m2－4)i可知复数z－m2(1＋i)＋8＝(m2－2m－8)＋(m2－4)i－m2(1＋i)＋8＝－2m－4i，依题意＝2，解得m＝±1，

此时m＝±1.

19．(本小题满分12分)已知关于x的复系数一元二次方程x2＋zx＋4＋3i＝0(z∈C)有实数根，求复数|z|的最小值．

[解]　设x＝x0是方程x2＋zx＋4＋3i＝0的实数根，则x＋zx0＋4＋3i＝0，

即z＝－x0－－i，

|z|＝＝

≥＝3，

当且仅当x＝，x0＝±时，等号成立．

所以|z|min＝3.

20．(本小题满分12分)已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z.

(1)求复数z；

(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．

[解]　(1)z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋i(cos 2θ－1)＝－1－2sin2θi.

(2)点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．

由点P在直线y＝x上得－2sin2θ＝－，

∴sin2θ＝，

又θ∈(0，π)，

∴sin θ>0，

因此sin θ＝，

∴θ＝或θ＝π.

21．(本小题满分12分)已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i.

(1)求点C，D对应的复数；

(2)求▱ABCD的面积．

[解]　(1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，

∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.

又＝＋，

∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.

∵＝，

∴向量对应的复数为3－i，

即＝(3，－1)．

设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，

∴

解得

∴点D对应的复数为5.

(2)∵·＝||||cos B，

∴cos B＝＝＝＝.

∴sin B＝，

∴S▱ABCD＝||||sin B＝××＝7，

∴平行四边形ABCD的面积为7.

22．(本小题满分12分)已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)．

(1)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限内，求实数a的取值范围；

(2)若复数|z1|＝1， arg z1＝θ(0≤θ≤π)，求|z－z1|的取值范围．

[解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，＝×(x＋yi)(2＋i)

＝×[(2x－y)＋(x＋2y)i]．

∵z＋2i，均为实数，

∴

解之得

∴z＝4－2i.

(1)(z＋ai)2＝[4＋(a－2)i]2＝16－(a－2)2＋8(a－2)i＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.

∵(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限内，

∴

解之得2<a<6.

即实数a的取值范围是(2，6)．

(2)因为|z1|＝1， arg z1＝θ(0≤θ≤π)，

所以z1＝cos θ＋isin θ.

z－z1＝(4－cos θ)－(2＋sin θ)i，

则|z－z1|2＝(4－cos θ)2＋[－(2＋sin θ)]2

＝21＋4sin(θ－φ)，

∴21－4<|z－z1|2<21＋4，

∴2－1<|z－z1|<2＋1.