高中苏教版 (2019)11.3 余弦定理、正弦定理的应用复习练习题

课后素养落实(十九)　余弦定理、正弦定理的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为(　　)

A．12 m   B．8 m

C．3 m   D．4 m

D　[由题意知，A＝B＝30°，

所以C＝180°－30°－30°＝120°，

由正弦定理得，＝，

即AB＝＝＝4(m)．]

2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a．则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为(　　)

A．①②  B．②③  C．①③  D．①②③

D　[由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB．故选D． ]

3．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为(　　)

A．20 m  B．30 m  C．40 m  D．60 m

C　[如图，设O为顶端在地面的射影，

在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，

OB＝20，BD＝40，OD＝20，

在Rt△AOD中，

OA＝OD·tan 60°＝60，

∴AB＝OA－OB＝40(m)．]

4．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD在水平面上，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是(　　)

A．30°  B．45°  C．60°  D．75°

B　[∵AD2＝602＋202＝4 000，

AC2＝602＋302＝4 500，

在△ACD中，由余弦定理得

cos∠CAD＝＝，∠CAD∈(0°，180°)，

∴∠CAD＝45°．]

5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为(　　)

A．15 m   B．20 m

C．25 m   D．30 m

D　[设建筑物的高度为h，由题图知，

PA＝2h，PB＝h，PC＝h，

∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，

得cos∠PBA＝， ①

cos∠PBC＝． ②

∵∠PBA＋∠PBC＝180°，

∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0． ③

由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30 m．]

二、填空题

6．若两人用大小相等的力F提起重为G的货物，且保持平衡，则两力的夹角θ的余弦值为________．

　[如图，由平行四边形法则可知，

||＝G，

在△AOB中，由余弦定理可得

||2＝F2＋F2－2F·Fcos(π－θ)．

∵||＝G，∴2F2(1＋cos θ)＝G2，

∴cos θ＝．]

7．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别是75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于________ m．

120(－1)　[由题意可知，AC＝＝120．

∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝．

在△ABC中，由正弦定理得＝，

于是BC＝＝＝120(－1)(m)．]

8．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．

　[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)

＝cos∠BAD＝，

∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，

∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，

∴BD＝．]

三、解答题

9．如图所示，一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C，D分别在北偏东45°和北偏东30°方向，此人向东走300米到达B处之后，再看C，D，则分别在北偏西15°和北偏西60°方向，求目标C，D之间的距离．

[解]　由题意得，在△ABD中，因为∠DAB＝60°，∠DBA＝30°，所以∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，

因为AB＝300，所以BD＝300·sin 60°＝150，

在△ABC中，因为∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝60°．由正弦定理得＝，

所以BC＝×＝100，在△BCD中，因为BC＝100，BD＝150，∠CBD＝45°，

由余弦定理得

CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝37 500，

所以CD＝50．

所以目标C，D之间的距离为50米．

10．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sin Asin B．

(1)求角C的大小；

(2)若c＝，求△ABC周长的取值范围．

[解]　(1)由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sin Asin B，

即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B，

由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，

由余弦定理得cos C＝＝＝－，

又∵0<C<π，

∴C＝．

(2)由正弦定理得＝＝＝2，

∴a＝2sin A，b＝2sin B，

则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sin A＋sin B)＋＝2＋＝2sin＋．

∵0<A<，

∴<A＋<，

∴<sin≤1，

∴2<2sin＋≤2＋，

∴△ABC周长的取值范围是(2，2＋]．

11．(多选题)某人在A处向正东方向走x km后到达B处，他向右转150°，然后朝新方向走3 km到达C处，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为(　　)

A．  B．2  C．3  D．3

AB　[由题意得∠ABC＝30°，由余弦定理，得

cos 30°＝，

解得x＝2或x＝．故选AB．]

12．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是(　　)

A．100 m   B．400 m

C．200 m   D．500 m

D　[设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x．在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝x．在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500 m，由余弦定理得(x)2＝x2＋5002－2×500xcos 120°，解得x＝500 m．]

13．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为________小时．

1　[设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cos A，即302＝x2＋402－2x·40cos 45°，

化简得x2－40x＋700＝0，

所以|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，

|x1－x2|＝20，

即图中的CD＝20(千米)，

故t＝＝＝1(小时)．]

14．如图，在△ABC中，∠B＝，D为BC边上的点，E为AD上的点，且AE＝8，AC＝4，∠CED＝，则CE＝________；若CD＝5，则cos∠DAB＝________．

4　　[由题意可得∠AEC＝π－＝，

在△AEC中，由余弦定理得AC2＝AE2＋CE2－2AE·CE·cos∠AEC，

即160＝64＋CE2＋8CE，

整理得CE2＋8CE－96＝0，

解得CE＝4(负值舍去)．

∵CD＝5，

∴在△CDE中，由正弦定理得

＝，

即＝，

所以sin∠CDE＝．

因为点D在BC边上，

所以∠CDE>∠B＝，而<，

所以∠CDE只能为钝角，

所以cos∠CDE＝－，

所以cos∠DAB＝cos＝cos∠CDEcos ＋sin ∠CDEsin ＝－×＋×＝．]

15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsin A．

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

[解]　(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A．

因为sin A≠0，所以sin＝sin B．

由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos．

因为cos≠0，故sin＝，又0°<B<180°，因此B＝60°．

(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a．

由正弦定理得a＝＝＝＋．

由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°．由(1)知A＋C＝120°，所以30°＜C<90°，故＜a＜2，从而＜S△ABC＜．

因此，△ABC面积的取值范围是．