高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.3 几个三角恒等式当堂检测题

课后素养落实(十五)　几个三角恒等式

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若A＋B＝120°，则sin A＋sin B的最大值是(　　)

A．1  B．  C．  D．

C　[sin A＋sin B＝2sincos

＝cos≤，∴最大值为．]

2．函数y＝sin＋sin的最大值是(　　)

A．  B．1  C．  D．

B　[y＝2sin xcos＝sin x≤1，∴最大值为1．]

3．＝(　　)

A．  B．－  C．  D．－

D　[原式＝＝－＝－．]

4．设π<α<3π，cos α＝m，cos＝n，cos＝p，下列各式中正确的是(　　)

A．n＝－  　   B．n＝

C．p＝ 　   D．p＝－

A　[∵<<，∴cos ＝－，

即n＝－，此外由于<<，

因此cos 的符号不能确定．]

5．若α是第三象限角且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－，则tan＝(　　)

A．－5  B．5  C．－  D．

A　[易知sin α＝－，α为第三象限角，

∴cos α＝－．

∴tan ＝＝

＝＝＝－5．]

二、填空题

6．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝________．

　[cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos 2α＋cos 2β)

＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β．

∴cos2α－sin2β＝．]

7．若cos2α－cos2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________．

－m　[sin(α＋β)sin(α－β)＝－(cos 2α－cos 2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－m．]

8．函数y＝sincos x的最小值是________．

－　[y＝sincos x＝

＝＝sin－，

当sin＝－1时，y取得最小值为－．]

三、解答题

9．求函数f(x)＝sin x的最小正周期与最值．

[解]　f(x)＝sin x

＝sin x·2cossin

＝－sin xcos

＝－

＝－sin＋．

∴最小正周期为T＝＝π．

∵sin∈[－1，1]，

∴f(x)max＝，f(x)min＝－．

10．已知3tan＝tan，求证：sin 2α＝1．

[证明]　∵3tan＝tan，

∴＝，

∴3sincos＝sincos，

∴＝，

∴3sin 2α－＝sin 2α＋，∴sin 2α＝1．

11．sin220°＋cos280°＋sin 20°cos 80°的值是(　　)

A．  B．  C．  D．1

A　[原式＝＋＋(sin 100°－sin 60°)＝1－(cos 40°＋cos 20°)＋cos 10°－＝1－cos 30°cos 10°＋cos 10°－＝．]

12．(多选题)下列各式与tan α相等的是(　　)

A．

B．

C．·(α∈(0，π))

D．

CD　[A不符合，＝＝＝|tan α|；

B不符合，＝＝tan ；

C符合，因为α∈(0，π)，所以原式＝·＝＝tan α；

D符合，＝＝tan α．]

13．如图，实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等，设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1，2，3)，则coscos－sinsin＝________．

－　[设三段圆弧交于A，B，D三点，连接PA，PB，PD(图略)，则∠APB＋∠APD＋∠BPD＝2π，从而α1＋α2＋α3＝4π，所以coscos－sinsin＝cos＝cos＝－．]

14．若θ∈，且cos·cos＝，则cos 2θ＝________，sin θ＋cos θ＝________．

　－　[cos·cos＝＝cos 2θ＝，

∴cos 2θ＝．

又θ∈，

∴2θ＝，即θ＝，

∴sin θ＋cos θ＝sin＝sin ＝×＝－．]

15．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

[解]　在直角三角形OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α．

在直角三角形OAD中，＝tan 60°＝．

∴OA＝DA＝sin α，

∴AB＝OB－OA＝cos α－sin α．

设矩形ABCD的面积为S，则

S＝AB·BC＝sin α

＝sin αcos α－sin2α

＝sin 2α－(1－cos 2α)

＝sin 2α＋cos 2α－

＝－

＝sin－．

∵0<α<，

∴＜2α＋＜，

∴当2α＋＝，即α＝时，S取最大值．

∴当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．