人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示精练

十　函数的表示法

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，则f＝(　　)

A．15    B．1    C．3    D．30

【解析】选A.令g(x)＝，得1－2x＝，解得x＝.

所以f＝f＝＝＝15.

2．(多选题)已知f(x)＝，则f(x)满足的关系有(　　)

A．f(－x)＝－f(x)     B．f＝－f(x)

C．f＝f(x)      D．f＝－f(x)

【解析】选BD.因为f(x)＝，

所以f(－x)＝＝，f(－x)＝f(x)，即不满足A选项，f＝＝，f＝－f(x)，

即满足B选项，不满足C选项，f＝＝，f＝－f(x)，即满足D选项．

3．已知某超市2020年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：

根据该折线图可知，下列说法错误的是(　　)

A．该超市2020年的12个月中的7月份的收益最高

B．该超市2020年的12个月中的4月份的收益最低

C．该超市2020年1～6月份的总收益低于2020年7～12月份的总收益

D．该超市2020年7～12月份的总收益比2020年1～6月份的总收益增长了90万元

【解析】选D.该超市2020年的12个月中的7月份的收益最高，故A正确，不符合题意，该超市2020年的12个月中的4月份的收益最低，故B正确，不符合题意，该超市2020年1～6月份的总收益为20＋30＋20＋10＋30＋30＝140万元，2020年7～12月份的总收益60＋40＋30＋30＋50＋30＝240万元，故C正确，不符合题意，由240－140＝100，故D错误，符合题意．

4．已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是(　　)

A．{x|x≤1}      B．{x|x≤2}

C．{x|0≤x≤1}     D．{x|x<0}

【解析】选A.当x≥0时，f(x)＝1，xf(x)＋x≤2⇒x≤1，

所以0≤x≤1；当x<0时，f(x)＝0，xf(x)＋x≤2⇒x≤2，

所以x<0.综上，x≤1.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2021·葫芦岛高一检测)已知函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且f(5)＝3f(3)＋4，则f(4)＝________．

【解析】因为函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，

所以：f(4)＝2f(3)且f(5)＝2f(4)，

又f(5)＝3f(3)＋4，即2f(4)＝3×f(4)＋4；

则f(4)＝8.

答案：8

6．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋3，g(x)＝，若函数F(x)＝，则F(2)＝________，F(x)的最大值为________．

【解析】函数f(x)＝－x2＋2x＋3，g(x)＝，

函数F(x)＝

＝，

函数的图象如图，所以F(2)＝×2－3＝0；

F(x)的最大值为：F(6)＝－×62＋2×6＋3＝6.

答案：0　6

三、解答题(每小题10分，共30分)

7．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，求a.

【解析】在同一平面直角坐标系内，作出直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示．

由题意，可知2a＝－1，则a＝－.

8．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝

(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值；

(2)当x>0时，求f[g(x)]；

(3)求g[f(x)]的解析式．

【解析】(1)g(2)＝2－1＝1，f[g(2)]＝f(1)＝12－1＝0，

f(2)＝22－1＝3，g[f(2)]＝g(3)＝3－1＝2.

(2)当x>0时，g(x)＝x－1，

f[g(x)]＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x.

(3)当x>1或x<－1时，x2－1>0，

所以g[f(x)]＝g(x2－1)＝(x2－1)－1＝x2－2；

当－1≤x≤1时，x2－1≤0，

所以g[f(x)]＝g(x2－1)＝2－(x2－1)＝－x2＋3.

故g[f(x)]＝

9．如图，△OAB是边长为2的正三角形，当一条垂直于底边OA的直线x＝t(0＜t＜2)从左至右移动时，直线把三角形分成两部分，记直线左边部分的面积为f(t).

(1)写出函数f(t)的解析式；

(2)写出函数f(t)的定义域和值域．

【解析】(1)由题意知，当t在B左侧时(即0＜t≤1)直线左边部分为三角形，

f(t)＝×t×t×，

当t在B右侧时(即1＜t＜2)直线左边部分图形不规则，可化为用三角形OAB面积减去剩下的三角形的面积，即f(t)＝－×(2－t)×(2－t)×，

即当0＜t≤1时，f(t)＝×t×t×＝t2；

当1＜t＜2时，f(t)＝－×(2－t)×(2－t)×＝－t2＋2t－.

所以f(t)＝

(2)由题知，f(t)的定义域为(0，2)，f(t)的值域为(0，).