人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质综合训练题

十二　奇　偶　性

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．已知y＝f(x)是偶函数，则函数y＝f(x＋1)的图象的对称轴是(　　)

A．x＝1     B．x＝－1

C．x＝    D．x＝－

【解析】选B.y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移一个单位长度得到的，而y＝f(x)的图象的对称轴为x＝0，所以y＝f(x＋1)的图象的对称轴是x＝－1.

2．用列表法将函数f(x)表示为如表所示，则(　　)

A.f(x＋1)为奇函数    B．f(x＋1)为偶函数

C.f(x－1)为偶函数    D．f(x－1)为奇函数

【解析】选D.根据题意，对于函数f(x)，其定义域为{－2，－1，0}，有f(－2)＝－1，f(－1)＝0，f(0)＝1，对于y＝f(x＋1)，其定义域为{－3，－2，－1}，不是奇函数也不是偶函数，A，B错误；

对于y＝f(x－1)，其定义域为{－1，0，1}，且f(－1－1)＝f(－2)＝－1，f(0－1)＝f(－1)＝0，f(1－1)＝f(0)＝1，为奇函数，故D正确，C错误．

3．已知函数f(x)的图象关于原点对称，对于任意的x1，x2∈R，>0.若f(2m－6)＋f(n)＝0(m＞0，n＞0)，则mn的最大值为(　　)

A.    B．9    C．5    D．6

【解析】选A.由题意知f(x)是奇函数，且在R上单调递增．又f(2m－6)＋f(n)＝0，

所以f(2m－6)＝－f(n)＝f(－n)，

所以2m－6＝－n，所以2m＋n＝6.

所以≥2mn，即mn≤，

当且仅当2m＝n时，等号成立．

所以mn的最大值为.

4．若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)

A.[－1，1]∪[3，＋∞)    B．[－3，－1]∪[0，1]

C.[－1，0]∪[1，＋∞)    D．[－1，0]∪[1，3]

【解析】选D.因为定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，

所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－2)＝0；

当x＝0时不等式xf(x－1)≥0成立，

当x＝1时，不等式xf(x－1)≥0成立，

当x＞0时，不等式xf(x－1)≥0等价为f(x－1)≥0，

此时，此时1＜x≤3；

当x＜0时，不等式xf(x－1)≥0等价为f(x－1)≤0，此时，此时－1≤x<0，

综上－1≤x≤0或1≤x≤3，

即实数x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]，

【加固训练】

定义在R上的奇函数f(x)满足f(1)=0,且对任意的正数a,b(a≠b),有<0,则不等式<0的解集是 (　　)

A.(-1,1)∪(2,+∞)

B.(-∞,-1)∪(3,+∞)

C.(-∞,1)∪(3,+∞)

D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

【解析】选C.因为对任意的正数a,b(a≠b),

有<0,

所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,

因为定义在R上的奇函数f(x),

所以f(x)在(-∞,0)上单调递减.

所以不等式<0等价为(x-2)·f(x-2)<0,

令t=x-2,即t·f(t)<0.因为f(1)=0,

所以f(-1)=-f(1)=0.

不等式t·f(t)<0等价为

或,

即t>1或t<-1,所以x-2>1或x-2<-1.

综上x>3或x<1.

即不等式的解集为(-∞,1)∪(3,+∞).

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，

g(x)＝－x2－mx在(－∞，0)内单调递增，则实数m＝________．

【解析】由函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，得m2－4＝0.

解得m＝±2.又当m＝2时，g(x)＝－x2－2x，该函数在(－∞，0)内不单调递增，故m≠2.当m＝－2时，g(x)＝－x2＋2x，该函数在(－∞，0)内单调递增，故m＝－2.

答案：－2

6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x＝________时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)<f(m)成立，则m的取值范围是________．

【解析】由f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取到最大值．

由对称性可知f(0)＝f(2)，

所以f(0)<f(m)，得0<m<2，

即m的取值范围为(0，2).

答案：1　(0，2)

三、解答题(每小题10分，共30分)

7．设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.

(1)求b的值；

(2)若f(x)在[0，2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．

【解析】(1)因为函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，

所以f(0)＝0，解得b＝0.

(2)因为函数f(x)在[0，2]上是增函数，

又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2，2]上是单调递增的，

因为f(m)＋f(m－1)>0，

所以f(m－1)>－f(m)＝f(－m)，

所以m－1>－m，①

又需要不等式f(m)＋f(m－1)>0在函数f(x)定义域内有意义．

所以②

解①②得<m≤2，所以m的取值范围为.

8．已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R.

(1)试判断f(x)的奇偶性；

(2)若－≤a≤，求f(x)的最小值．

【解析】(1)当a＝0时，函数f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，此时，f(x)为偶函数．

当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，

f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(－a)，

此时f(x)为非奇非偶函数．

(2)当x≤a时，f(x)＝x2－x＋a＋1＝(x－)2＋a＋.

因为a≤，故函数f(x)在(－∞，a]上单调递减，从而函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(a)＝a2＋1.

当x>a时，函数f(x)＝x2＋x－a＋1

＝－a＋，

因为a≥－，故函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，

从而函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为f(a)＝a2＋1.

综上可得，当－≤a≤时，函数f(x)的最小值为a2＋1.

9．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．

【解析】F(x)在(－∞，0)上是减函数．

证明如下：

任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，

则有－x1>－x2>0.

因为y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，

所以f(－x2)<f(－x1)<0.①

又因为f(x)是奇函数，所以f(－x2)＝－f(x2)，

f(－x1)＝－f(x1)，②

由①②得f(x2)>f(x1)>0.

于是F(x1)－F(x2)＝－＝>0，即F(x1)>F(x2)，

所以F(x)＝在(－∞，0)上是减函数．