高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件随堂练习题

四　充分条件与必要条件

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．已知p：－1＜x＜5，q：＜4，那么p是q的(　　)

A．充要条件

B．必要不充分条件

C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】选C.由＜4得－4＜x－2＜4，所以－2＜x＜6，{x|－1＜x＜5}{x|－2＜x＜6}，

所以p是q的充分不必要条件．

2．“b＝c＝0”是“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过原点”的(　　)

A．充分条件

B．必要条件

C．既是充分条件也是必要条件

D．既不是充分条件也不是必要条件

【解析】选A.b＝c＝0⇒y＝ax2，二次函数一定经过原点；二次函数y＝ax2＋bx＋c经过原点⇒c＝0，b不一定等于0.

【误区警示】解答本题容易忽视对二次函数y＝ax2＋bx＋c经过原点的含义(即c＝0)理解错误．

3．(2021·石家庄高一检测)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆UC”是“A∩B＝∅”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．即不充分也不必要条件

【解析】选C.若AC，则UC UA，又BUC，可得A∩B＝∅；若A∩B＝∅，不妨令C＝A，显然满足AC，BUC，故满足条件的集合C是存在的．

4．(多选题)在下列四个结论中，正确的是(　　)

A．“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件

B．已知a，b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab＞0

C．“a≠0，Δ＝b2－4ac＜0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实数根”的充要条件

D．“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件

【解析】选AC.对于A，当x<0时，x＋|x|＝0，且当x＋|x|＞0时，x＞0，可推出x≠0，故A对；

对于B，当ab＝0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，故B错；

对于C，由一元二次方程及其实数根是否存在的条件可得；

对于D，当x＝－1时，x2＝1，故D错；只有AC正确．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③ab>0中分别选出适合下列条件的，用序号填空．

(1)使a，b都为0的必要条件是________；

(2)使a，b都不为0的充分条件是________．

【解析】①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0；②a＋b＝0即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由ab>0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”，所以使a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③.

答案：(1)①②　(2)③

6．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

【解析】当k>4，b<5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示．

显然图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴．由一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，即x＝0，y＝b－5<0，所以b<5.当y＝0时，x＝>0，因为b<5，所以k>4.故填“充要”．

答案：充要

三、解答题(每小题10分，共30分)

7．(2021·菏泽高一检测)已知集合A＝{2，3}，B＝{x|x2＋mx＋6＝0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围．

【解析】因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，

所以B⊆A，

当B＝∅时，Δ＝m2－24＜0，即m2＜24，

所以－2＜m＜2，

当B＝{2}时，4＋2m＋6＝0且Δ＝0，无解，

当B＝{3}时，9＋3m＋6＝0且Δ＝0，无解，

当B＝{2，3}时，m＝－5，

综上知，－2＜m＜2或m＝－5.

8．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a，且a＞0}．

(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围；

(2)若命题“A∩B＝∅”为真命题，求实数a的取值范围．

【解析】(1)由x∈A是x∈B的充分条件，得A⊆B，所以解得≤a≤2.

所以实数a的取值范围为≤a≤2.

(2)因为命题“A∩B＝∅”为真命题，

所以a≥4，或3a≤2，解得a≤或a≥4.

又因为a＞0，所以实数a的取值范围为：0＜a≤或a≥4.

9．已知p：x－2＞0，q：ax－4＞0，其中a∈R，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【解析】记A＝{x|x＞2}，B＝{x|ax－4＞0}，

因为p是q的必要不充分条件，所以BA.

①当a＞0时，＞2，所以0＜a＜2，

②当a＜0时，不满足题意．

③当a＝0时，q：－4＞0，所以B＝∅，所以符合题意．

综上：0≤a＜2.

【加固训练】

已知p:关于x的不等式<x<,q:0<x<3,若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.

【解析】记A=,B={x|0<x<3},

若p是q的充分不必要条件,则AB.

注意到B={x|0<x<3}≠,分两种情况讨论:

(1)A=,即≥,解得m≤0,此时AB,符合题意;

(2)若A≠,即<,解得m>0,

要使AB,应有

解得0<m<3.

综上可得,实数m的取值范围是{m|m<3}.