数学必修 第一册第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）习题

5.4.3　正切函数的性质与图象

课后训练巩固提升

A组

1.已知a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则(　　)

A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.b<a<c

解析:由题意可知a=tan1>1,b=tan2=-tan(π-2)<0,c=tan3=-tan(π-3)<0.

∵>π-2>π-3>0,

∴tan(π-2)>tan(π-3)>0.

∴-tan(π-2)<-tan(π-3)<0,

∴a>0>c>b.

答案:C

2.与函数y=tan的图象不相交的一条直线是 (　　)

A.x= B.y= C.x= D.x=

解析:由2x++kπ(k∈Z),

得x=(k∈Z).令k=0,得x=.

可知x=为函数y的图象的一条渐近线,即直线x=与函数y的图象不相交.

答案:D

3.函数y=tan在一个周期内的图象是(　　)

解析:当x=时,tan=0,排除选项C和选项D;

当x=时,tan=tan,无意义,排除选项B;故选A.

答案:A

4.函数y=3tan的定义域是(　　)

A.

B.

C.

D.

解析:要使函数y有意义,则2x+≠kπ+(k∈Z),即x≠(k∈Z),

故函数y的定义域为,故选C.

答案:C

5.函数y=tan的图象的一个对称中心是(　　)

A. B. C. D.

解析:令-7x+(k∈Z),

解得x=(k∈Z).

当k=0时,x=.

故函数y的图象的一个对称中心是,故选B.

答案:B

6.已知函数f(x)=则f=　　　　　. 

解析:因为f=-sin=1,

所以f=f(1)=tan=1.

答案:1

7.函数f(x)=tan的最小正周期为　　　　　. 

解析:利用正切型函数的最小正周期公式,可知函数f(x)=tan的最小正周期为T=.

答案:

8.函数f(x)=tan x在区间上的最小值为　　　　　. 

解析:因为正切函数在给定的定义域内单调递增,所以函数f(x)的最小值为f=tan=-.

答案:-

9.-tan与tan的大小关系是　　　　　. 

解析:-tan=-tan,tan=-tan=-tan.

∵0<<π,∴tan>0,tan<0.

∴-tan<-tan,即-tan<tan.

答案:-tan<tan

10.画出f(x)=tan|x|的图象,并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性.

解:f(x)=tan|x|可化为

f(x)=

根据y=tanx的图象,作出f(x)=tan|x|的图象如图所示.

由图象知,f(x)不是周期函数,是偶函数,单调递增区间为(k∈N);单调递减区间为(k=0,-1,-2,…).

B组

1.函数y=tan x的相邻两个周期的图象与直线y=2及y=-2围成的图形的面积是(　　)

A.π B.2π C.3π D.4π

解析:由题意可画出图象如图所示.

根据正切函数的对称性可知,由y=tanx的相邻两个周期的图象与直线y=2及y=-2围成的图形的面积可以看成矩形ABCD的面积,故S矩形ABCD=4π.

答案:D

2.函数f(x)=tan的单调递增区间为(　　)

A.,k∈Z B.,k∈Z

C.,k∈Z D.,k∈Z

解析:令-+kπ<x++kπ(k∈Z),

得-+2k<x<+2k(k∈Z).

所以函数f(x)=tan的单调递增区间为,k∈Z.

答案:A

3.下列说法正确的是(　　)

A.正切函数在整个定义域上是增函数

B.正切函数在某一区间内单调递减

C.函数y=tan的周期为2

D.tan 138°>tan 143°

解析:正切函数在每一个区间(k∈Z)内单调递增,没有单调递减区间;

函数y=tan的周期为=2;tan138°=-tan42°<-tan37°=tan143°.故选C.

答案:C

4.函数f(x)=tan-1在区间(0,π)内的零点是　　　　　. 

解析:由tan=1,得2x++kπ(k∈Z),

解得x=(k∈Z).

又因为x∈(0,π),所以x=.

答案:

5.函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈的值域为　　　　　. 

解析:∵-≤x≤,∴-1≤tanx≤1.

令tanx=t,则t∈[-1,1].

∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.

∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4;

当t=1,即x=时,ymax=4.

故所求函数y的值域为[-4,4].

答案:[-4,4]

6.函数y=sin x与y=tan x的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少?

解:因为当x∈时,tanx>x>sinx,所以当x∈时,y=sinx与y=tanx没有公共点.

画出函数y=sinx与y=tanx在区间[0,2π]上的图象如图所示,可知在区间[0,2π]上交点的个数为1.

7.设函数f(x)=tan.

(1)求函数f(x)的最小正周期和它的图象的对称中心;

(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.

解:(1)由ω=,知函数f(x)的最小正周期T==2π.

令(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),

故f(x)的图象的对称中心是(k∈Z).

(2)令=0,则x=;

令,则x=;

令=-,则x=;

令,则x=;

令=-,则x=-.

故函数y=tan的图象与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-,x=,从而得到函数y=f(x)在一个周期内的简图如图所示.