人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程课后复习题

单元疑难突破练(三)

(60分钟　100分)

一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是(　　)

A．x＋y＋1＝0　　　　 B．x＋y－1＝0

C．x－y＋1＝0       D．x－y－1＝0

【解析】选C.圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C为(－1，0)，而直线与x＋y＝0垂直，所以待求直线的斜率为1，设待求直线的方程为y＝x＋b，将点C的坐标代入可得b＝1，直线的方程为x－y＋1＝0.

2．过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)的圆的方程是(　　)

A．x2＋y2－7x－3y＋2＝0

B．x2＋y2＋7x－3y＋2＝0

C．x2＋y2＋7x＋3y＋2＝0

D．x2＋y2－7x＋3y＋2＝0

【解析】选A.设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)三点代入方程得到方程组

解得D＝－7，E＝－3，F＝2，

故圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.

3．设圆x2＋y2－8x－9＝0的弦AB的中点为P(5，2)，则直线AB的方程为(　　)

A．2x－5y＝0        B．2x－y－8＝0

C．x＋2y－9＝0       D．5x－2y－21＝0

【解析】选C.因为x2＋y2－8x－9＝0可化为(x－4)2＋y2＝25，

所以圆心为C(4，0)，故kPC＝＝2.

又PC⊥AB，所以kAB＝－.

故AB所在的直线方程为y－2＝－(x－5).

即x＋2y－9＝0.

4．直线x＋y＝0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(　　)

A．直线与圆相切

B．直线与圆相交但不过圆心

C．直线与圆相离

D．直线过圆心

【解析】选A.直线x＋y＝0的斜率为－，倾斜角为150°，绕原点按顺时针方向旋转30°，所得直线的倾斜角为120°，斜率为－，所以直线方程为x＋y＝0.圆(x－2)2＋y2＝3的圆心(2，0)到直线x＋y＝0的距离d＝＝＝r，所以直线与圆相切．

5．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　)

A．－2或12       B．2或－12

C．－2或－12       D．2或12

【解析】选D.由3x＋4y＝b得y＝－x＋，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.

6．若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是(　　)

A．       B．

C．(1，＋∞)      D．(1，3]

【解析】选A.作出曲线y＝的图象，

直线y＝k(x－2)＋4恒过定点，

当直线与曲线相切时，原点到直线kx－y－2k＋4＝0的距离等于2，＝2，解得k＝，

由图可知，<k≤＝1.

二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

7．设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　)

A．不论k如何变化，圆心Ck始终在一条直线上

B．所有圆Ck均经过点(3，0)

C．存在一条定直线始终与圆Ck相切

D．若k∈，若圆Ck上总存在两点到原点的距离为1

【解析】选ACD.圆心在直线y＝x上，A正确；若(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，Δ＝36－40＝－4＜0，无解，B不正确；对于③，存在定直线y＝x±2始终与圆Ck相切，C正确；圆Ck上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆x2＋y2＝1与圆Ck有两个交点，则k∈∪，D正确．

8．已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.现给出如下结论，其中正确的是(　　)

A．圆O与圆C有四条公切线

B．过C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x＋y＝5或x－y＋1＝0

C．过C且与圆O相切的直线方程为9x－16y＋30＝0

D．P、Q分别为圆O和圆C上的动点，则|PQ|的最大值为＋3，最小值为－3

【解析】选AD.由题意可得，圆O：x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径r1＝2，

圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的圆心C(2，3)，半径r2＝1，

因为两圆圆心距|OC|＝>r1＋r2＝2＋1，

所以两圆相离，有四条公切线，A正确；截距相等可以过原点或斜率只能为－1，B不正确；

过圆外一点与圆相切的直线有两条，C不正确；|PQ|的最大值等于|OC|＋r1＋r2，最小值为|OC|－r1－r2，D正确．

三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把正确的答案填在题中的横线上

9．圆x2＋y2＋2y－3＝0关于直线x＋y－1＝0的对称圆的标准方程为________．

【解析】因为x2＋y2＋2y－3＝0x2＋(y＋1)2＝4，

所以圆心为(0，－1)，半径为2，

设圆心关于直线x＋y－1＝0的对称点为(x，y)，

所以

所以对称圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.

答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4

10．过原点且倾斜角为30°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截的弦长为________．

【解析】过原点且倾斜角为30°的直线方程为y＝x，

圆x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，圆心为C(2，0)，半径为r＝2，

所以圆心到直线的距离为d＝＝1，

所以弦长为2＝2.

答案：2

11．过点(－，1)的直线l与圆x2＋y2＝4相切，则直线l在y轴上的截距为

________．

【解析】根据题意，圆x2＋y2＝4，对于点(－，1)，有(－)2＋12＝4，

即点(－，1)在圆x2＋y2＝4上，则切线l的方程为－x＋y＝4，变形可得y＝x＋4，直线l在y轴上的截距为4.

答案：4

12．两圆x2＋y2－4＝0与x2＋y2＋6x＋8y＋6＝0的公共弦长为________．

【解析】两圆x2＋y2－4＝0与x2＋y2＋6x＋8y＋6＝0方程相减得：6x＋8y＋10＝0，即3x＋4y＋5＝0，由x2＋y2－4＝0得圆心(0，0)，半径r＝2，

所以圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离为d＝＝1，

所以公共弦长为2＝2＝2.

答案：2

13．已知直线l：x－y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋)2＝4交于M，N，点P在圆C上，且∠MPN＝，则实数a＝________．

【解析】由∠MPN＝可得∠MCN＝2∠MPN＝，在△MCN中，CM＝CN＝2，∠CMN＝∠CNM＝.则圆心C(3，－)到直线l的距离d＝2sin ＝1，即＝1，解得a＝4或a＝8.

答案：4或8

14．已知圆C的方程为x2＋y2＝2，点P是直线x－2y－5＝0上的一个动点，过点P作圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，则四边形PACB的面积的最小值为________；直线AB过定点________．

【解析】由圆x2＋y2＝2得圆心C(0，0)，半径r＝，

由题意可得|PA|＝|PB|，PA⊥CA，PB⊥CB，

在Rt△PAC中，|PA|2＝|PC|2－r2＝|PC|2－2，S四边形PACB＝2S△PAC＝2×

×|PA|×|AC|＝×＝，

可知当PC垂直直线x－2y－5＝0时，|PC|min＝＝，所以四边形PACB的面积的最小值为.可得P，A，C，B四点在以PC为直径的圆上，且AB是两圆的公共弦，设P(2a＋5，a)，则圆心为，半径为，

则该圆方程为2＋2＝2＋2，

整理可得x2＋y2－x－ay＝0，联立两圆可得直线AB的方程为x＋ay－2＝0，

可得当x＝，y＝－时恒成立．故直线AB过定点.

答案：　

四、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．

15．(10分)已知圆C的圆心坐标为C(3，0)，且该圆经过点A(0，4).

(1)求圆C的标准方程；

(2)若点B也在圆C上，且弦AB长为8，求AB对应的直线l的方程．

【解析】(1)设圆的标准为(x－3)2＋y2＝r2，把A(0，4)代入得r＝5，

故圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝25.

(2)①k不存在时，根据题意，直线l的方程为x＝0；此时弦长AB＝8，②k存在时，设直线l的方程为y＝kx＋4，

由弦长|AB|＝8，知圆心(3，0)到直线y＝kx＋4的距离d＝＝3，

解得k＝－，

所以直线l的方程为：7x＋24y－96＝0，

综上所述，直线l的方程为x＝0或7x＋24y－96＝0.

16．(10分)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝5，直线l：mx－y＋1＋2m＝0，m∈R.

(1)判断直线与圆的位置关系，并说明理由；

(2)若直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．

【解析】(1)直线l：mx－y＋1＋2m＝0，也即y－1＝m(x＋2)，

故直线恒过定点(－2，1)，

又(－2＋2)2＋12<5，

故点(－2，1)在圆C内，此时直线l一定与圆C相交．

(2)设点M(x，y)，当直线AB斜率不为零时，kAB＝，

又kMC＝，kAB×kMC＝－1，

即×＝－1，

化简可得：(x＋2)2＋＝(x≠－2)；

当直线AB斜率为零时，显然中点M的坐标为(－2，1)，也满足上述方程．

故M点的轨迹方程为：(x＋2)2＋＝(点(－2，0)除外).

17．(10分)已知直线x－y＋2＝0和圆C：x2＋y2－8x＋12＝0，过直线上的一点P(x0，y0)作两条直线PA，PB与圆C相切于A，B两点．

(1)当P点坐标为(2，4)时，求以PC为直径的圆的方程，并求直线AB的方程；

(2)设切线PA与PB的斜率分别为k1，k2，且k1·k2＝－7时，求点P的坐标．

【解析】(1)圆C：x2＋y2－8x＋12＝0，可化为(x－4)2＋y2＝4，PC中点为(3，2)，|PC|＝2，

所以以PC为直径的圆的方程为圆E：(x－3)2＋(y－2)2＝5，

因为PA⊥AC，PB⊥BC，

所以P，A，B，C四点共圆E，

所以直线AB的方程是两圆公共弦所在直线方程，两方程相减可得直线AB的方程为x－2y－2＝0.

(2)设过P的直线l方程为y－y0＝k(x－x0)，由于⊙C与直线l相切，得到d＝＝2，整理得到：k2[(4－x0)2－4]＋2y0(4－x0)k＋y－4＝0，

所以k1·k2＝＝－7，将y0＝x0＋2代入，可得2x－13x0＋21＝

0，

所以x0＝3或，

所以点P坐标(3，5)或.