数学选择性必修 第一册2.2 直线的方程精品学案设计

这是一份数学选择性必修 第一册2.2 直线的方程精品学案设计，共13页。

题组一 求直线的一般式方程
1.过点M(-3,2),且与直线x+2y-9=0平行的直线方程是( )
A.2x-y+8=0 B.x-2y+7=0
C.x+2y+4=0 D.x+2y-1=0
2.斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为 .
3.在y轴上的截距为-6,且倾斜角为45°的直线的一般式方程为 .
4.已知直线l经过点P(2,3),且斜率为-32.
(1)求直线l的一般式方程;
(2)求与直线l平行,且过点(-3,1)的直线的一般式方程;
(3)求与直线l垂直,且过点(-3,1)的直线的一般式方程.
题组二 直线方程几种形式的相互转化及其应用
5.直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则( )
A.a=2,b=5 B.a=2,b=-5
C.a=-2,b=-5 D.a=-2,b=5
6.直线l:xsin 30°-ycs 30°+1=0的斜率是( )
A.33 B.3 C.-3 D.-33
7.(2020辽宁大连高二上期中)若直线y=2x与直线(a2-a)x-y+a+1=0平行,则a=( )
A.-1 B.2
C.-1或2 D.1或-2
8.若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0的图形可能是( )
9.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是 ( )
A.12ab B.12|ab|C.12ab D.12|ab|
10.直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点 .
题组三 直线一般式方程的综合应用
11.若直线ax+2y+1=0与直线x+2y-2=0互相垂直,则实数a的值是( )
A.1 B.-1C.4 D.-4
12.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( )
A.0,π4B.0,π2∪3π4,π
C.π2,πD.3π4,π
13.如图,某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系用直线AB的方程表示.
(1)求直线AB的方程;
(2)问旅客最多可免费携带多少千克的行李?
14.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=-2m+6,根据下列条件分别确定m的值:
(1)直线l在x轴上的截距为-3;
(2)直线l的倾斜角为45°.
能力提升练
题组一 求直线的一般式方程
1.()已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是( )
A.2x+y+1=0 B.2x-y+1=0
C.2x+y-1=0 D.x+2y+1=0
2.()已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1,且它的倾斜角是直线3x-y-3=0的倾斜角的2倍,则a,b的值分别为( )
A.-3,-1 B.3,-1
C.-3,1 D.3,1
3.()已知过点M(2,1)的直线与x轴、y轴分别交于P,Q两点.若M为线段PQ的中点,则这条直线的方程为( )
A.2x-y-3=0 B.2x+y-5=0
C.x+2y-4=0 D.x-2y+3=0
4.()已知点A(0,1),点B在直线l:x+y=0上运动,则当线段AB最短时,直线AB的一般式方程为 .
题组二 直线方程几种形式的相互转化及其应用
5.()已知直线l:(a-1)x+(b+2)y+c=0,若l∥y轴,但不重合,则下列结论正确的是( )
A.a≠1,b≠2,c≠0 B.a≠1,b=-2,c≠0
C.a=1,b≠-2,c≠0 D.a≠1,b≠-2,c≠0
6.(2020安徽安庆一中高二上月考,)设A(-2,2),B(1,1),若直线l:ax+y+1=0与线段AB有交点,则a的取值范围是( )
A.-∞,-32∪[2,+∞)B.-32,2
C.(-∞,-2]∪32,+∞D.-2,32
7.()两条不同直线ax+y+a=0与x+ay+a=0在同一平面直角坐标系中的图形可能是( )
8.()设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长,则直线y=-sinAax-ca与bx-ysin B+sin C=0的位置关系是 .
9.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
题组三 直线一般式方程的综合应用
10.(2020山西大同一中高二上期中,)已知a≠0,直线ax+(b+2)y+4=0与直线ax+(b-2)y-3=0互相垂直,则ab的最大值为( )
A.0 B.2C.4 D.2
11.(2020华中师大附属中学高二上期中,)“m=1”是“直线(m+4)x+3my+1=0与(m-4)x+(m+4)y-5=0垂直”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
12.(2019山东泰安高一期中,)“a=-2”是“直线l1:ax-y+3=0与直线l2:2x-(a+1)y+4=0互相平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
13.(2020辽宁六校协作体高二上期中,)直线l:mx+y-1-m=0过定点 ,过此定点,且倾斜角为π2的直线方程为 .
14.()已知直线l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,则k= .
答案全解全析
基础过关练
1.D 依题意,设直线方程为x+2y+c=0,
由M(-3,2)在直线上得,-3+4+c=0,解得c=-1.
∴直线方程为x+2y-1=0,故选D.
2.答案 2x-y+1=0
解析 由点斜式得所求直线的方程为y-3=2(x-1),整理得2x-y+1=0.
3.答案 x-y-6=0
解析 设直线的斜截式方程为y=kx+b(k≠0),则由题意得k=tan 45°=1,b=-6,所以y=x-6,即x-y-6=0.
4.解析 (1)由题意知直线l的方程为y-3=-32(x-2),即3x+2y-12=0.
(2)设所求直线的方程为3x+2y+m=0,因为所求直线过点(-3,1),所以-9+2+m=0,解得m=7,故所求直线的一般式方程为3x+2y+7=0.
(3)设所求直线的方程为2x-3y+n=0,因为所求直线过点(-3,1),所以-6-3+n=0,解得n=9,故所求直线的一般式方程为2x-3y+9=0.
5.B 令x=0,得y=-5,令y=0,得x=2.所以a=2,b=-5.
6.A 由直线l的方程xsin 30°-ycs 30°+1=0,得斜率为sin30°cs30°=tan 30°=33,故选A.
7.B 依题意得,a2-a=2,解得a1=2,a2=-1,又a+1≠0,因此a=2,故选B.
8.C 由题意知,直线方程可化为y=-abx-cb,∵ac<0,bc<0,∴ab>0,-cb>0,∴-ab<0,故直线的斜率小于0,在y轴上的截距大于0.故选C.
9.D 将方程化为截距式为x1a+y1b=1,
∴三角形的面积S=121a1b=12|ab|.
10.答案 (-2,3)
解析 直线(a-1)x-y+2a+1=0,即a(x+2)+(-x-y+1)=0,
根据a的任意性可得x+2=0,-x-y+1=0,
解得x=-2,y=3,
∴当a取不同的实数时,直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过一个定点,这个定点的坐标是(-2,3).
11.D 两直线的斜率分别为-a2,-12,依题意得-a2×-12=-1,解得a=-4,故选D.
12.D 设直线的斜率为k,则k=-1a2+1,∴-1≤k<0,∴倾斜角的取值范围是3π4,π.
13.解析 (1)由题图知点A(60,6),B(80,10).
由直线方程的两点式或斜截式可求得直线AB的方程是x-5y-30=0.
(2)依题意,令y=0,解得x=30,即旅客最多可免费携带30千克的行李.
14.解析 (1)由题意得m2-2m-3≠0,-2m+6m2-2m-3=-3,
解得m≠3且m≠-1,m=-13或m=3,所以m=-13.
故当m=-13时,直线l在x轴上的截距为-3.
(2)由题意得2m2+m-1≠0,-m2-2m-32m2+m-1=1,
解得m≠12且m≠-1,m=43或m=-1,
所以m=43.
故当m=43时,直线l的倾斜角为45°.
能力提升练
1.A 因为点A(2,1)在直线a1x+b1y+1=0上,所以2a1+b1+1=0,由此可知点P1(a1,b1)在直线2x+y+1=0上.因为点A(2,1)在直线a2x+b2y+1=0上,所以2a2+b2+1=0,由此可知点P2(a2,b2)在直线2x+y+1=0上,所以过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是2x+y+1=0.
2.A 由题意得a≠0,b≠0.将ax+by-1=0化为x1a+y1b=1,∴1b=-1,∴b=-1.
∵直线3x-y-3=0的倾斜角为60°,∴直线ax+by-1=0的倾斜角为120°.
又∵直线ax+by-1=0的斜率k=-ab=a,
k=tan 120°=-3,∴a=-3.故选A.
3.C 设所求直线的方程为y-1=k(x-2).令x=0,得y=1-2k,所以Q点坐标为(0,1-2k),又因为M为线段PQ的中点,P点纵坐标为0,所以根据中点坐标公式得0+(1-2k)2=1,解得k=-12,故所求直线的方程为x+2y-4=0.
4.答案 x-y+1=0
解析 当线段AB最短时,AB⊥l,所以kAB=1.所以直线AB的方程为y=x+1,化为一般式方程为x-y+1=0.
5.B ∵直线l:(a-1)x+(b+2)y+c=0,l∥y轴,但不重合,∴a-1≠0,b+2=0,c≠0,
解得a≠1,b=-2,c≠0.故选B.
6.C 由ax+y+1=0得,y=-ax-1,
因此直线l过定点P(0,-1),且斜率k=-a.
如图所示,当直线l由直线PA按顺时针方向旋转到直线PB的位置时,符合题意.
易得kPB=1-(-1)1-0=2,kPA=2-(-1)-2-0=-32.
结合图形知,-a≥2或-a≤-32,解得a≤-2或a≥32.故选C.
7.D 直线ax+y+a=0与直线x+ay+a=0不可能平行,故B错误;当a>0时,直线ax+y+a=0的斜率小于0,且与y轴负半轴相交,直线x+ay+a=0的斜率小于0,且与y轴负半轴相交,故A错误,D正确;当a<0时,直线ax+y+a=0的斜率大于0,且与y轴正半轴相交,直线x+ay+a=0的斜率大于0,且与y轴负半轴相交,故C错误.故选D.
8.答案 垂直
解析 依题意得,asinA=bsinB.
∵sin B≠0,∴直线bx-ysin B+sin C=0可变形为y=bsinBx+sinCsinB,
设直线y=bsinBx+sinCsinB的斜率为k2,则k2=bsinB,
设直线y=-sinAax-ca的斜率为k1,则k1=-sinAa,
∴k1·k2=-sinAa·bsinB=-sinAa·asinA=-1.
因此,两直线垂直.
9.解析 (1)当直线l过原点时,a=2,该直线在x轴和y轴上的截距为0,符合题意,所以方程为3x+y=0;
当直线l不过原点时,由截距存在且均不为0,得a-2a+1=a-2,即a+1=1,解得a=0,所以方程为x+y+2=0.
综上,l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
要想l不经过第二象限,需满足-(a+1)>0,a-2≤0或-(a+1)=0,a-2≤0,
解得a<-1或a=-1,因此a的取值范围是(-∞,-1].
10.B 由两直线互相垂直知,a2+(b+2)(b-2)=0,∴a2+b2=4.
又a2+b2≥2ab,∴ab≤2,
当且仅当a=b=±2时取等号.
∴ab的最大值为2,故选B.
11.B 两直线垂直⇔(m+4)(m-4)+3m(m+4)=0⇔(m+4)(m-1)=0⇔m=1或m=-4.
又{1}⫋{1,-4},
∴“m=1”是“直线(m+4)x+3my+1=0与(m-4)x+(m+4)y-5=0垂直”的充分不必要条件,故选B.
12.A 由题意得a×[-(a+1)]-(-1)×2=0,整理得a2+a-2=0,
解得a=1或a=-2.
当a=1时,l1:x-y+3=0,l2:x-y+2=0,此时l1∥l2;
当a=-2时,l1:2x+y-3=0,l2:2x+y+4=0,此时l1∥l2.
因此,“a=-2”能推出“l1∥l2”,反之未必.
故选A.
13.答案 (1,1);x=1
解析 直线l的方程可化为m(x-1)+(y-1)=0,
令x-1=0,y-1=0,得x=1,y=1.
故直线l过定点(1,1).
又倾斜角为π2时,直线垂直x轴,所以其方程为x=1.
故填(1,1);x=1.
14.答案 ±1
解析 如图所示,直线l1:x+3y-5=0分别交x轴,y轴于A,B两点,直线l2:3kx-y+1=0过定点C(0,1).
由点C在线段OB上知l2⊥l1,或l2与x轴交于D点,且∠BCD+∠BAD=180°.
①由l1⊥l2知,1×3k+3×(-1)=0,解得k=1.
②由∠BCD+∠BAD=180°得,∠BAD=∠OCD.
设直线l1的倾斜角为α1,l2的倾斜角为α2,则α1=180°-∠BAD,α2=90°+∠OCD,
∴α1=180°-∠BAD=180°-∠OCD=180°-(α2-90°)⇒α1=270°-α2⇒tan α1=tan(270°-α2)=tan(90°-α2)=sin(90°-α2)cs(90°-α2)=cs α2sin α2=1tan α2⇒tan α1·tan α2=1,
∴-13×3k=1⇒k=-1.
综上所述,k的值为±1.