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数学必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质第1课时测试题
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这是一份数学必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质第1课时测试题，共5页。
1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则( )
A．a>b B．aC．a≥b D．a≤b
解析：选C．因为a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b，当且仅当x＝1时，等号成立．
2．若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是( )
A．M>－5 B．M<－5
C．M＝－5 D．不能确定
解析：选A．M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5>－5.故选A．
3．下列不等式，正确的个数为( )
①x2＋3>2x(x∈R)；②a3＋b3≥a2b＋ab2；③a2＋b2≥2(a－b－1).
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C．①x2＋3－2x＝(x－1)2＋2>0，所以x2＋3>2x；②a3＋b3－a2b－ab2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)＝(a＋b)(a－b)2，(a－b)2≥0，但a＋b的符号不能确定，所以②不一定正确；③a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1).故①③正确．故选C．
4．将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为( )
A． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－5≥1,0C．2x－5≥1或5－2x≥1 D． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|2x－5|≥1,0解析：选D．由题意，可知另一段绳子的长度为(5－x)m，因为两段绳子的长度之差不小于1 m，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|x－(5－x)|≥1，,05．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是( )
A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3
C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1
解析：选A．根据四个杯的形状分析易知h2>h1>h4或h2>h3>h4.
6．已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a________2b－ eq \f(b2,a).(填“＞”“＜”或“＝”)
解析：因为a≠b，a＜0，所以a－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2b－\f(b2,a)))＝ eq \f((a－b)2,a)＜0，所以a＜2b－ eq \f(b2,a).
答案：＜
7．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为______________．
解析：①原来每天行驶x km，现在每天行驶(x＋19)km.则不等关系在8天内的行程超过2 200 km，
写成不等式为8(x＋19)>2 200.
②若每天行驶(x－12)km，
则不等关系原来行驶8天的路程现在花9天多时间，
写成不等式为8x>9(x－12).
答案：8(x＋19)>2 200 8x>9(x－12)
8．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为___________________．
解析：因为m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1).又因为m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.所以m3>m2－m＋1.
答案：m3>m2－m＋1
9．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 eq \f(1,3)，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来．
解：据题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)≤z≤\f(x,3)，,y＋z≥55))(x，y，z∈N).
10．x∈R且x≠－1，比较 eq \f(1,1＋x)与1－x的大小．
解：因为 eq \f(1,1＋x)－(1－x)＝ eq \f(1－(1－x2),1＋x)＝ eq \f(x2,1＋x)，当x＝0时， eq \f(1,1＋x)＝1－x；当1＋x<0，即x<－1时， eq \f(x2,1＋x)<0，所以 eq \f(1,1＋x)<1－x；当1＋x>0且x≠0，即－10时， eq \f(x2,1＋x)>0，所以 eq \f(1,1＋x)>1－x.
[B 能力提升]
11．(多选)下面列出的几种不等关系中，正确的为( )
A．x与2的和是非负数，可表示为x＋2>0
B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮，可表示为x>y
C．△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为a＋b>c且b＋c>a且a＋c>b
D．若某天的温度为t，最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这一天的温度范围可表示为7℃≤t≤13℃
解析：选CD．对于A中，x与2的和是非负数，应表示为x＋2≥0，故A错误；对于B中，小明比小华矮，应表示为x12．(多选)设0A．a> eq \r(ab)>b B．a< eq \f(a＋b,2)C．a< eq \r(ab) eq \f(a＋b,2)>b
解析：选BC．因为00，所以 eq \r(ab)0，知b> eq \f(a＋b,2)，由a－ eq \f(a＋b,2)＝ eq \f(a－b,2)<0，知a< eq \f(a＋b,2)，故D错误，B正确．故选BC．
13．足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满．则A队有出租车________辆．
解析：设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x＋3)辆，由题意得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x<56，,6x>56，,4(x＋3)<56，,5(x＋3)>56.))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<11\f(1,5)，,x>9\f(1,3)，,x<11，,x>8\f(1,5)．))
所以9 eq \f(1,3)答案：10
14．已知a>0，b>0，试比较 eq \f(a,\r(b))＋ eq \f(b,\r(a))与 eq \r(a)＋ eq \r(b)的大小．
解：方法一：(作差法) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a))))－( eq \r(a)＋ eq \r(b))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(b))－\r(b)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,\r(a))－\r(a)))
＝ eq \f(a－b,\r(b))＋ eq \f(b－a,\r(a))＝ eq \f((a－b)(\r(a)－\r(b)),\r(ab))＝ eq \f((\r(a)－\r(b))2(\r(a)＋\r(b)),\r(ab)).
因为a>0，b>0，所以 eq \r(a)＋ eq \r(b)>0， eq \r(ab)>0，( eq \r(a)－ eq \r(b))2≥0，
所以 eq \f((\r(a)－\r(b))2(\r(a)＋\r(b)),\r(ab))≥0，所以 eq \f(a,\r(b))＋ eq \f(b,\r(a))≥ eq \r(a)＋ eq \r(b).
方法二：(作商法) eq \f(\f(b,\r(a))＋\f(a,\r(b)),\r(a)＋\r(b))＝ eq \f((\r(b))3＋(\r(a))3,\r(ab)(\r(a)＋\r(b)))＝ eq \f((\r(a)＋\r(b))(a＋b－\r(ab)),\r(ab)(\r(a)＋\r(b)))
＝ eq \f(a＋b－\r(ab),\r(ab))＝ eq \f((\r(a)－\r(b))2＋\r(ab),\r(ab))＝1＋ eq \f((\r(a)－\r(b))2,\r(ab))≥1.
因为a>0，b>0，所以 eq \f(b,\r(a))＋ eq \f(a,\r(b))>0， eq \r(a)＋ eq \r(b)>0，
所以 eq \f(b,\r(a))＋ eq \f(a,\r(b))≥ eq \r(a)＋ eq \r(b).
方法三：(平方法)因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a)))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(a2,b)＋ eq \f(b2,a)＋2 eq \r(ab)，( eq \r(a)＋ eq \r(b))2＝a＋b＋2 eq \r(ab)，
所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a)))) eq \s\up12(2)－( eq \r(a)＋ eq \r(b))2＝ eq \f((a＋b)(a－b)2,ab).
因为a>0，b>0，所以 eq \f((a＋b)(a－b)2,ab)≥0，
eq \f(a,\r(b))＋ eq \f(b,\r(a))>0， eq \r(a)＋ eq \r(b)>0，故 eq \f(a,\r(b))＋ eq \f(b,\r(a))≥ eq \r(a)＋ eq \r(b).
[C 拓展探究]
15．某种商品计划提价，现有四种方案：方案(Ⅰ)先提价m%，再提价n%；方案(Ⅱ)先提价n%，再提价m%；方案(Ⅲ)分两次提价，每次提价 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))%；方案(Ⅳ)一次性提价(m＋n)%.已知m>n>0，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？
解：依题意，设单价为1，那么方案(Ⅰ)提价后的价格是1×(1＋m%)(1＋n%)＝1＋(m＋n)%＋m%·n%；
方案(Ⅱ)提价后的价格是1×(1＋n%)(1＋m%)＝1＋(m＋n)%＋m%·n%；
方案(Ⅲ)提价后的价格是1× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))%)) eq \s\up12(2)＝1＋(m＋n)%＋ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))%)) eq \s\up12(2)；
方案(Ⅳ)提价后的价格是1＋(m＋n)%.
所以只要比较m%·n%与 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))%)) eq \s\up12(2)的大小即可．
因为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))%)) eq \s\up12(2)－m%·n%＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－n,2)))%)) eq \s\up12(2)≥0，
所以 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))%)) eq \s\up12(2)≥m%·n%.
又因为m>n>0，所以 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))%)) eq \s\up12(2)>m%·n%.
即 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))%)) eq \s\up12(2)>(1＋m%)·(1＋n%).
因此，方案(Ⅲ)提价最多．
1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则( )
A．a>b B．a
解析：选C．因为a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b，当且仅当x＝1时，等号成立．
2．若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是( )
A．M>－5 B．M<－5
C．M＝－5 D．不能确定
解析：选A．M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5>－5.故选A．
3．下列不等式，正确的个数为( )
①x2＋3>2x(x∈R)；②a3＋b3≥a2b＋ab2；③a2＋b2≥2(a－b－1).
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C．①x2＋3－2x＝(x－1)2＋2>0，所以x2＋3>2x；②a3＋b3－a2b－ab2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)＝(a＋b)(a－b)2，(a－b)2≥0，但a＋b的符号不能确定，所以②不一定正确；③a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1).故①③正确．故选C．
4．将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为( )
A． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－5≥1,0
A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3
C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1
解析：选A．根据四个杯的形状分析易知h2>h1>h4或h2>h3>h4.
6．已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a________2b－ eq \f(b2,a).(填“＞”“＜”或“＝”)
解析：因为a≠b，a＜0，所以a－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2b－\f(b2,a)))＝ eq \f((a－b)2,a)＜0，所以a＜2b－ eq \f(b2,a).
答案：＜
7．一辆汽车原来每天行驶x km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写成不等式为________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为______________．
解析：①原来每天行驶x km，现在每天行驶(x＋19)km.则不等关系在8天内的行程超过2 200 km，
写成不等式为8(x＋19)>2 200.
②若每天行驶(x－12)km，
则不等关系原来行驶8天的路程现在花9天多时间，
写成不等式为8x>9(x－12).
答案：8(x＋19)>2 200 8x>9(x－12)
8．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为___________________．
解析：因为m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1).又因为m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.所以m3>m2－m＋1.
答案：m3>m2－m＋1
9．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 eq \f(1,3)，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来．
解：据题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)≤z≤\f(x,3)，,y＋z≥55))(x，y，z∈N).
10．x∈R且x≠－1，比较 eq \f(1,1＋x)与1－x的大小．
解：因为 eq \f(1,1＋x)－(1－x)＝ eq \f(1－(1－x2),1＋x)＝ eq \f(x2,1＋x)，当x＝0时， eq \f(1,1＋x)＝1－x；当1＋x<0，即x<－1时， eq \f(x2,1＋x)<0，所以 eq \f(1,1＋x)<1－x；当1＋x>0且x≠0，即－1
[B 能力提升]
11．(多选)下面列出的几种不等关系中，正确的为( )
A．x与2的和是非负数，可表示为x＋2>0
B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮，可表示为x>y
C．△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为a＋b>c且b＋c>a且a＋c>b
D．若某天的温度为t，最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这一天的温度范围可表示为7℃≤t≤13℃
解析：选CD．对于A中，x与2的和是非负数，应表示为x＋2≥0，故A错误；对于B中，小明比小华矮，应表示为x
解析：选BC．因为0
13．足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满．则A队有出租车________辆．
解析：设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x＋3)辆，由题意得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x<56，,6x>56，,4(x＋3)<56，,5(x＋3)>56.))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x<11\f(1,5)，,x>9\f(1,3)，,x<11，,x>8\f(1,5)．))
所以9 eq \f(1,3)
14．已知a>0，b>0，试比较 eq \f(a,\r(b))＋ eq \f(b,\r(a))与 eq \r(a)＋ eq \r(b)的大小．
解：方法一：(作差法) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a))))－( eq \r(a)＋ eq \r(b))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(b))－\r(b)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,\r(a))－\r(a)))
＝ eq \f(a－b,\r(b))＋ eq \f(b－a,\r(a))＝ eq \f((a－b)(\r(a)－\r(b)),\r(ab))＝ eq \f((\r(a)－\r(b))2(\r(a)＋\r(b)),\r(ab)).
因为a>0，b>0，所以 eq \r(a)＋ eq \r(b)>0， eq \r(ab)>0，( eq \r(a)－ eq \r(b))2≥0，
所以 eq \f((\r(a)－\r(b))2(\r(a)＋\r(b)),\r(ab))≥0，所以 eq \f(a,\r(b))＋ eq \f(b,\r(a))≥ eq \r(a)＋ eq \r(b).
方法二：(作商法) eq \f(\f(b,\r(a))＋\f(a,\r(b)),\r(a)＋\r(b))＝ eq \f((\r(b))3＋(\r(a))3,\r(ab)(\r(a)＋\r(b)))＝ eq \f((\r(a)＋\r(b))(a＋b－\r(ab)),\r(ab)(\r(a)＋\r(b)))
＝ eq \f(a＋b－\r(ab),\r(ab))＝ eq \f((\r(a)－\r(b))2＋\r(ab),\r(ab))＝1＋ eq \f((\r(a)－\r(b))2,\r(ab))≥1.
因为a>0，b>0，所以 eq \f(b,\r(a))＋ eq \f(a,\r(b))>0， eq \r(a)＋ eq \r(b)>0，
所以 eq \f(b,\r(a))＋ eq \f(a,\r(b))≥ eq \r(a)＋ eq \r(b).
方法三：(平方法)因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a)))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(a2,b)＋ eq \f(b2,a)＋2 eq \r(ab)，( eq \r(a)＋ eq \r(b))2＝a＋b＋2 eq \r(ab)，
所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a)))) eq \s\up12(2)－( eq \r(a)＋ eq \r(b))2＝ eq \f((a＋b)(a－b)2,ab).
因为a>0，b>0，所以 eq \f((a＋b)(a－b)2,ab)≥0，
eq \f(a,\r(b))＋ eq \f(b,\r(a))>0， eq \r(a)＋ eq \r(b)>0，故 eq \f(a,\r(b))＋ eq \f(b,\r(a))≥ eq \r(a)＋ eq \r(b).
[C 拓展探究]
15．某种商品计划提价，现有四种方案：方案(Ⅰ)先提价m%，再提价n%；方案(Ⅱ)先提价n%，再提价m%；方案(Ⅲ)分两次提价，每次提价 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))%；方案(Ⅳ)一次性提价(m＋n)%.已知m>n>0，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？
解：依题意，设单价为1，那么方案(Ⅰ)提价后的价格是1×(1＋m%)(1＋n%)＝1＋(m＋n)%＋m%·n%；
方案(Ⅱ)提价后的价格是1×(1＋n%)(1＋m%)＝1＋(m＋n)%＋m%·n%；
方案(Ⅲ)提价后的价格是1× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))%)) eq \s\up12(2)＝1＋(m＋n)%＋ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))%)) eq \s\up12(2)；
方案(Ⅳ)提价后的价格是1＋(m＋n)%.
所以只要比较m%·n%与 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))%)) eq \s\up12(2)的大小即可．
因为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))%)) eq \s\up12(2)－m%·n%＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－n,2)))%)) eq \s\up12(2)≥0，
所以 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))%)) eq \s\up12(2)≥m%·n%.
又因为m>n>0，所以 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))%)) eq \s\up12(2)>m%·n%.
即 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))%)) eq \s\up12(2)>(1＋m%)·(1＋n%).
因此，方案(Ⅲ)提价最多．
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