人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念达标测试

1．1　集合的概念

A级　基础巩固

一、选择题

1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是 (　C　)

A．②　　　　　　　　　　 B．③

C．②③  D．①②③

[解析]　高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C．

2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为 (　B　)

A．{1，1}  B．{1}

C．{x＝1}  D．{x2－2x＋1＝0}

[解析]　∵x2－2x＋1＝0，∴x＝1．故集合为单元素集合．故选B．

3．集合A中含有3个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a的值为 (　D　)

A．2  B．4

C．6  D．2或4

[解析]　∵a∈A，A＝{2，4，6}，

∴当a＝2时，6－a＝4∈A；当a＝4时，6－a＝2∈A；当a＝6时，6－a＝0∉A．

∴a＝2或4，故选D．

4．方程组的解集是 (　D　)

A． B．{x，y|x＝3且y＝－7}

C．{3，－7} D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}

[解析]　解方程组得，

用描述法表示为{(x，y)|x＝3且y＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D．

5．已知集合A＝{x|x≤10}，a＝＋，则a与集合A的关系是 (　A　)

A．a∈A  B．a∉A

C．a＝A  D．{a}∈A

[解析]　由于＋＜10，所以a∈A，故选A．

6．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是 (　C　)

A．1  B．3

C．5  D．9

[解析]　集合B的元素是集合A中两元素的差值，因为集合A中不同任意两元素的差分别是1，2，－1，－2，当两元素相同时，差为0，所以集合B＝{－2，－1，0，1，2}，所以选C．

二、填空题

7．用符号∈与∉填空：

(1)．0__∉__N*；__∉__Z；0__∈__N；(－1)0__∈__N*；＋2__∉__Q；__∈__Q．

(2)．3__∈__{2，3}；3__∉__{(2，3)}；(2，3)__∈__{(2，3)}；(3，2)__∉__{(2，3)}．

(3)．若a2＝3，则a__∈__R；若a2＝－1，则a__∉__R．

[解析]　(1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2，3}的元素；但整数3不是点集{(2，3)}的元素；同样(2，3)是集合{(2，3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3，2)不是集合{(2，3)}的元素．(3)平方等于3的数是±，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．

8．一个小书架上有十个不同品种的书各3本，那么由这个书架上的书组成的集合中含有__10__个元素．

[解析]　由集合中元素的互异性，集合中元素必须是互不相同的，相同元素在集合中只能算一个，因此书架上的书组成的集合有10个元素．

三、解答题

9．用适当的方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集．

(1)不超过10的非负质数的集合；

(2)大于10的所有自然数的集合．

[解析]　(1)不超过10的非负质数有2，3，5，7，用列举法表示为{2，3，5，7}，是有限集．

(2)大于10的所有自然数有无限个，故可用描述法表示为{x|x>10，x∈N}，是无限集．

B级　素养提升

一、选择题

1．下列集合中，不同于另外三个集合的是 (　B　)

A．{x|x＝1}  B．{x|x2＝1}

C．{1}  D．{y|(y－1)2＝0}

[解析]　{x|x2＝1}＝{－1，1}，另外三个集合都是{1}，选B．

2．如果a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是 (　D　)

A．矩形  B．平行四边形

C．菱形  D．梯形

[解析]　由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．

3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为 (　B　)

A．2  B．3

C．0或3  D．0或2或3

[解析]　因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3．又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B．

4．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是 (　D　)

A．0∉M  B．2∈M

C．－4∉M  D．4∈M

[解析]　当x>0时，＝1；当x<0时，＝－1，

故当x，y，z全为正时，原式＝4；

当x，y，z两正一负时，xyz<0，原式＝0；

当x，y，z两负一正时，xyz>0，原式＝0；

当x，y，z全为负时，xyz<0，原式＝－4，故M的元素有4，0，－4，∴4∈M．故选D．

二、填空题

5．用列举法写出集合{∈Z|x∈Z}＝__{－3，－1，1，3}__．

[解析]　∵∈Z，x∈Z，

∴3－x为3的因数．

∴3－x＝±1，或3－x＝±3．

∴＝±3，或＝±1．

∴－3，－1，1，3满足题意．

6．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则集合A＋B中元素的个数为__4__．

[解析]　当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6．∴A＋B＝{3，4，5，6}，共4个元素．

C级　能力拔高

1．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．

(1)若A是单元素集合，求集合A；

(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．

[解析]　(1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{}，符合题意；

当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，

则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝{}，符合题意．

综上所述，当a＝0时，A＝{}；当a＝时，A＝{}．

(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{}符合题意；

当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，

则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0．

综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤．

2．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”．

(1)判断集合A＝{－1，1，2}是否为可倒数集；

(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．

[解析]　(1)由于2的倒数为不在集合A中，故集合A不是可倒数集．

(2)若a∈A，则必有∈A，现已知集合A中含有3个元素，故必有一个元素有a＝，即a＝±1，故可以取集合A＝{1，2，}或{－1，2，}或{1，3，}等．