高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体课后测评

课后素养落实(四十)　总体百分位数的估计

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是(　　)

A． 14　　　　B．17　　　　C． 19　　　　D．23

D　[因为8×70%＝5.6，故70%分位数是第6项数据23．]

2．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示．估计棉花纤维的长度的样本数据的90%分位数是(　　)

A．32.5 mm    B．33 mm    C．33.5 mm    D．34 mm

A　[棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为

(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，

在35 mm以下的比例为85%＋10%＝95%，

因此，90%分位数一定位于[30,35)内，由30＋5×＝32.5，

可以估计棉花纤维的长度的样本数据的90%分位数是32.5 mm．]

3．如图所示是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是(　　)

A．－2    B．0    C．1    D．2

D　[由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的顺序排列为：

－3，－2，－1，－1,0,0,1, 2, 2, 2，

因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的第80百分位数是＝2．]

4．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设该组数据的平均数为a，第50百分位数为b，则有(　　)

A．a＝13.7, b＝15.5   B．a＝14,  b＝15

C．a＝12, b＝15.5   D．a＝14.7, b＝15

D　[把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均数a＝×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，第50百分位数为b＝＝15．]

5．已知甲、乙两组数据：

甲组：27,28,39,40，m,50；

乙组：24，n,34,43,48,52．

若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等，则等于(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[因为30%×6＝1.8,80%×6＝4.8，所以第30百分位数为n＝28，第80百分位数为m＝48，所以＝＝．]

二、填空题

6．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则60分为成绩的第________百分位数．

30　[因为[20,40)，[40,60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以60分为成绩的第30百分位数．]

7．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为________秒．

16.5　[设成绩的70%分位数为x，因为＝0.55，＝0.85，

所以x∈ [16,17)，所以0.55＋(x－16)×＝0.70，解得x＝16.5秒．]

8．已知30个数据的第60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________．

8.6　[由于30×60%＝18，设第19个数据为x，则＝8.2，解得x＝8.6，即第19个数据是8.6．]

三、解答题

9．某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2020年11月11日的网购金额，所得数据如下表：

已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2．

(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图)．

(2)估计网购金额的25%分位数(结果保留3位有效数字)．

[解]　(1)根据题意有：

解得

所以p＝0.4，q＝0.25．

补全频率分布直方图如图所示：

(2) 由(1)可知，网购金额不高于2千元的频率为0.08＋0.12＝0.2，

网购金额不高于3千元的频率为0.2＋0.4＝0.6，

所以网购金额的25%分位数在[2,3)内，

则网购金额的25%分位数为2＋×1≈2.13千元．

10．某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．

(1)求x；

(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；

(3)以下是参赛的10人的成绩：90,96,97,95,92,92,98,88,96,99，

求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．

[解]　(1)第一组频率为0.01×5＝0.05，所以x＝＝100．

(2)由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30,35)内，由30＋5×＝≈32，所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32．

(3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：

88,90,92,92,95,96,96,97,98,99，

计算10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为＝91，

这10人成绩的平均数为×(88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3．

评价：从百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高．

感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可．

1．数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5，x,6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是(　　)

A．[4.5，＋∞)　　　 B．[4.5,6.6)

C．(4.5，＋∞)   D．[4.5,6.6]

A　[因为8×65%＝5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5，则x≥4.5，故选A．]

2．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福感指数”分别为5,6,7,8,9,5，则这组数据第80百分位数是(　　)

A．7　　　B．7.5    C．8　　　D．9

C　[该组数据从小到大排列为5,5,6,7,8,9，且6×80%＝4.8．所以这组数据的第80百分位数是8．]

3．(多选题)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列说法正确的是(　　)

甲　　　　　　　　　　乙

A．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数

B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C．甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数

D．甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差

AC　[由题图可得，甲＝＝6，乙＝＝6，A项正确；

甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，B项错误；

甲的成绩的第80百分位数＝7.5，乙的成绩的第80百分位数＝7.5，所以二者相等，C项正确；

甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D项不正确．]

4．如图是某市2019年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，这7天的日最高气温的第10百分位数为________，日最低气温的第80百分位数为________．

24 ℃　16 ℃　[由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序，得24, 24.5, 24.5, 25, 26,26, 27．

因为共有7个数据，所以7×10%＝0.7，不是整数，所以这7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据，为24 ℃．

把日最低气温按照从小到大排序，得12, 12, 13, 14, 15,16, 17．

因为共有7个数据，所以7×80%＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的第80百分位数是第6个数据，为16 ℃．]

某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数；

(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；

(3)根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用(2)中的数据，确定本次测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考．

[解]　(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.04＋0.02)×10＝0.6，

所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4．

所以总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4＝160．

(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，

分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5．

所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×＝20．

(3) 设分数的第15百分位数为x，由(2)可知，分数小于50的频率为＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，所以x∈[50,60)，则0.1＋(x－50)×0.01＝0.15，

解得x＝55，则本次考试的及格分数线为55分．