2020-2021学年2.5 直线与圆、圆与圆的位置第1课时学案及答案

这是一份2020-2021学年2.5 直线与圆、圆与圆的位置第1课时学案及答案，共12页。学案主要包含了直线与圆的位置关系的判断，圆的弦长问题，求圆的切线方程等内容，欢迎下载使用。

§2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2．5.1　直线与圆的位置关系
第1课时　直线与圆的位置关系
学习目标　1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．

知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判断方法
几何法：
设圆心到直线的距离为d＝
d d＝r
d>r
代数法：
由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0

思考　几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
答案　“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”， 判断直线与圆的位置关系，一般用几何法．

1．若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　×　)
2．如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．(　√　)
3．若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．(　√　)
4．过圆外一点的直线与圆相离．(　×　)

一、直线与圆的位置关系的判断
例1　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解　方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
则Δ＝4m(3m＋4)．
当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ<0，即－ 方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝ .
当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d>2，即－ 反思感悟　直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
跟踪训练1　(1)已知圆C: x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　)
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
答案　A
解析　将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3,0)在圆内．
∴过点P的直线l必与圆C相交．
(2)设m＞0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为(　　)
A．相切 B．相交
C．相切或相离 D．相交或相切
答案　C
解析　圆心到直线l的距离为d＝，圆的半径为r＝，
∵d－r＝－＝(m－2＋1)＝(－1)2≥0，
∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离．
二、圆的弦长问题
例2　(1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．
答案　
解析　由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝＝，
则有|AB|＝2＝2 ＝.
(2)如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．
解　圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，
所以弦心距d＝＝＝3.
因为圆心O(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．
设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离等于3，
于是＝3，解得k＝－.
故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.
综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0.
反思感悟　直线与圆相交时的弦长求法
几何法
利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2解题
代数法
若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长
弦长公式法
设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长
l＝|x1－x2|＝

跟踪训练2　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C: x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
解　方法一　由直线l与圆C的方程，
得消去y，得x2－3x＋2＝0.
设两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2，
|AB|＝
＝
＝
＝.
∴弦AB的长为.
方法二　圆C: x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5.
其圆心坐标为C(0,1)，半径r＝，点C(0,1)到直线l的距离为d＝＝，
所以半弦长＝＝＝.所以弦长|AB|＝.
三、求圆的切线方程
例3　(1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
答案　C
解析　因为过圆外一点的圆的切线长l、半径长r和这点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2＝d2－r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题．由题意易知圆心C(－1,2)，半径长r＝，点(a，b)在直线y＝x－3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，易求d＝＝3，所以切线长的最小值为＝＝4.
(2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为__________________．
答案　y＝4或3x＋4y－13＝0
解析　∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外．
当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意．
设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，
即kx－y＋4＋k＝0.
圆心(2,3)到切线l的距离为＝1，
解得k＝0或k＝－，
因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.
反思感悟　求过某一点的圆的切线方程
(1)点(x0，y0)在圆上．
①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点(x0，y0) 在圆外．
①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．
③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
跟踪训练3　(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为(　　)
A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0
C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0
答案　B
解析　x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，
kPC＝，∴切线的斜率k＝－2，
∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　)
A．1 B．2 C. D．3
答案　C
解析　圆心C(3,0)到y＝x＋1的距离d＝＝2.
所以切线长的最小值为l＝＝.

1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案　B
解析　∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝<1，
∴直线与圆x2＋y2＝1相交，
又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心．
2．(多选)直线l: x－1＝m(y－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切或相离
C．相交 D．相切
答案　CD
解析　l过定点A(1,1)，又点A在圆上，
当l斜率存在时，l与圆一定相交，
又直线x＝1过点A且为圆的切线，
∴l与圆相交或相切，故选CD.
3．(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　)
A．－2 B．－12
C．2 D．12
答案　CD
解析　圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
由圆心(1,1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，
得b＝2或12.
4．过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线方程为________________．
答案　x＝2或y＝3
解析　∵P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，
∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条．
当斜率存在时，设切线的斜率为k，
则切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，
∴＝1，∴k＝0，
∴切线方程为y＝3，
当斜率不存在时，切线方程为x＝2.
5．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为________．
答案　2
解析　设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.
当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，
|CA|＝＝.
∴半弦长＝＝＝.
∴最短弦长为2.

1．知识清单：
(1)直线与圆的三种位置关系．
(2)弦长公式．
(3)圆的切线方程．
2．方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法．
3．常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况．


1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
答案　D
解析　圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝，0 所以相交但不过圆心．
2．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是(　　)
A．－515
C．m<4或m>13 D．4 答案　B
解析　圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径为2，
由题意，圆心到直线3x＋4y＋m＝0的距离>2，
∴m<－5或m>15.故选B.
3．(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)
A．0 B．4 C．－2 D.
答案　AB
解析　由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，
所以圆心到直线的距离d＝＝.
又d＝，所以|a－2|＝2，
解得a＝4或a＝0.
4．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案　C
解析　圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a，0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，
则d≤r＝⇔≤⇔|a＋1|≤2⇔－3≤a≤1.
5．圆心为(3,0)且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为(　　)
A．(x－)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝3
C．(x－)2＋y2＝3 D．(x－3)2＋y2＝9
答案　B
解析　由题意知所求圆的半径r＝＝，
故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3，
故选B.
6．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝________.
答案　2
解析　直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.
7．过点P(－1,6)且与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程是______________．
答案　3x－4y＋27＝0或x＝－1
解析　当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－6＝k(x＋1)，
则d＝＝2，解得k＝，此时，直线方程为3x－4y＋27＝0；
当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝－1，验证可知，符合题意．
8．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．
答案　－或－
解析　由已知得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，
则有d＝＝1，
解得k＝－或k＝－.
9．已知圆C与y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为2，求圆C的方程．
解　因为圆C与y轴相切，且圆心C在直线x－3y＝0上，
故设圆C的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又因为直线y＝x截圆得弦长为2，
则有2＋()2＝9b2，
解得b＝±1，故所求圆C的方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
10．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．
解　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心为(a，b)，半径长为r.
∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，
∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上．
∴a＋2b＝0，①
且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②
又∵直线x－y＋1＝0与圆相交的弦长为2，
∴r2－d2＝r2－2＝()2.③
解由方程①②③组成的方程组，
得或
∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.

11．已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为(　　)
A．y－2＝0 B．x＋2y－5＝0
C．2x－y＝0 D．x－1＝0
答案　B
解析　当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直．已知圆心O(0,0)，
所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k＝＝2，
故所求直线的斜率为－，
所以所求直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
12．已知直线l：3x＋4y＋m＝0(m>0)被圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m等于(　　)
A．6 B．8 C．11 D．9
答案　D
解析　圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
圆心坐标为(－1,1)，半径为2，
由题意可知，圆心到直线的距离d＝＝2.
∵m>0，∴m＝9.
13．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
答案　10
解析　圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，
由圆的性质可知最长弦|AC|＝2，最短弦BD恰以E(0,1)为中点，且与AC垂直，
设点F为其圆心，坐标为(1,3)．
故|EF|＝，∴|BD|＝2＝2，
∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝10.
14．自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是________________．
答案　x2＋y2＝2
解析　设点P的坐标为(x，y)，
则|PO|＝.
∵∠MPN＝90°，∴四边形OMPN为正方形，
∴|PO|＝|OM|＝，
∴＝，即x2＋y2＝2.

15．曲线y＝1＋与直线l：y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是________．
答案　
解析　直线l过点A(2,4)，又曲线y＝1＋的图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，
当直线l与半圆相切，C为切点时，
圆心到直线l的距离d＝r，

即＝2，解得k＝.
当直线l过点B(－2,1)时，直线l的斜率为＝，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，
实数k的取值范围为.
16．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C: x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
解　(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为.

所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以当|PC|2最小时，|AP|最小．
因为|PC|2＝(1－x)2＋2
＝2＋9.
所以当x＝－时，|PC|＝9.
所以|AP|min＝＝2.
即四边形PACB面积的最小值为2.
(2)由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的．