高中数学人教A版必修第一册3.2.2 奇偶性课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册3.2.2 奇偶性课时作业含解析，共1页。
[对应学生用书P40]
知识点 奇偶性
(1)偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝_f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数．
(2)奇函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数．
[微思考]
具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
提示：定义域关于原点对称．
[微体验]
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
B [B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．]
2．函数f(x)＝eq \f(1,x)在区间(0,1)内( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既不是奇函数又不是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
C [f(x)的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性．]
3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．无法确定
C [∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.]
4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝__________.
解析 ∵f(x)为R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3.
答案 3
[对应学生用书P40]
探究一 函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \f(3x,x2＋3)；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1).
解 (1)f(x)的定义域是R，
又f(－x)＝eq \f(3－x,－x2＋3)＝－eq \f(3x,x2＋3)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R，
又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
[方法总结]
1．定义法判断函数的奇偶性
2．图象法判断函数的奇偶性
[跟踪训练1] (1)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝(x－2) eq \r(\f(2＋x,2－x))；
②f(x)＝x|x|.
解 ①由eq \f(2＋x,2－x)≥0，得定义域为[－2,2)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．
②函数的定义域为R，因为f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x＋3，x0，))试判断函数f(x)的奇偶性．
解 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
当x0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3
＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)；
当x＝0时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)；
当x>0时，－x0))为奇函数，则a＋b＝________.
解析 当x＞0时，－x＜0，由题意得f(－x)＝－f(x)，
∴x2－x＝－ax2－bx， 解得a＝－1，b＝1.
当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.
答案 0
[对应学生用书P42]
1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．
2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．
3．函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
课时作业(十五) 奇偶性
[见课时作业(十五)P155]
1．函数f(x)＝eq \r(x)的奇偶性为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
D [函数f(x)＝eq \r(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以此函数是非奇非偶函数．]
2．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
A．－2 B．2 [来源:学+科+网Z+X+X+K]
C．1 D．0
A [由图知f(1)＝eq \f(1,2)，f(2)＝eq \f(3,2)，又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝－2.]
3．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4 B．2
C．1 D．0
D [根据偶函数图象关于y轴对称知，四个交点的横坐标是两对互为相反数的数，因此它们的和为0.]
4．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )
A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C．f(－x)·f(x)≤0 D．eq \f(fx,f－x)＝－1
D [由于f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，由此可推A，B，C正确，由于f(－x)可能为0，故D错误．]
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
A [∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.]
6．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
解析 因为f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a为偶函数，所以a－4＝0，a＝4.
答案 4
7．若函数f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(a－x2)为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵函数f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(a－x2)为偶函数且非奇函数，∴f(－x)＝f(x)且f(－x)≠－f(x)．
又∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1≥0，,a－x2≥0，))∴a≥1.
当a＝1时，函数f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(a－x2)为偶函数且为奇函数，故a>1.
答案 a>1
8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数：①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x中奇函数为________(填序号)．
解析 因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以①为偶函数；因为f(－x)＝－f(x)，令g(x)＝－f(x)，则g(－x)＝－f(－x)＝f(x)＝－g(x)，所以②为奇函数；令F(x)＝xf(x)，则F(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝F(x)，故③是偶函数；令h(x)＝ f(x)＋x，则h(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－h(x)，故④是奇函数．
答案 ②④
9．已知函数f(x)＝x－eq \f(a,x)的图象经过点(2,1)．
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的奇偶性．
解 (1)因为函数f(x)＝x－eq \f(a,x)的图象经过点(2,1)，所以f(2)＝1，即2－eq \f(a,2)＝1，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝x－eq \f(2,x)，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝－x－eq \f(2,－x)＝－x＋eq \f(2,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
10．已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)