数学必修 第一册3.2 函数的基本性质第1课时巩固练习

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

3.2.2　奇偶性

第1课时　奇偶性的概念

1.B　[解析] 偶函数的图像关于y轴对称,奇函数的图像关于原点对称.对于A,易知它是函数图像,但图像既不关于y轴对称,也不关于原点对称,则图像表示的函数为非奇非偶函数;对于B,易知它是函数图像,图像关于y轴对称,则图像表示的函数是偶函数;对于C,当x=0时,y有两个值,故它不是函数图像;对于D,图像关于x轴对称,故它不是函数图像.故选B.

2.A　[解析] ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),又f(x)≠0,∴f(x)f(-x)=[f(x)]2>0.故选A.

3.B　[解析] 因为当x<0时,f(x)=x2-,所以f(-2)=4+=,又f(x)为奇函数,所以f(2)=-f(-2)=-.故选B.

4.C　[解析] 因为函数f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,所以f(x)=f(-x),即(x+1)(x-a)=(-x+1)(-x-a),整理得(a-1)x=0,解得a=1.故选C.

5.D　[解析] 因为f(-x)===f(x),所以函数f(x)是偶函数,排除选项B和C;当x=2时,f(2)=-<0,排除A.故选D.

6.B　[解析] ∵函数f(x)=是定义在[-1,1]上的奇函数,∴f(0)=0,即=0,解得a=0,则f(x)=.由f(-1)=-f(1),得=-,解得b=0,则f(x)=,故选B.

7.BD　[解析] 因为f(x)为奇函数,所以f(x)的图像关于原点对称,故选BD.

8.ABD　[解析] ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴y=|f(x)|为偶函数,y=|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,可得y=f(x)g(x)为奇函数,y=|f(x)|g(x)为偶函数,y=f(x)|g(x)|为奇函数,y=|f(x)g(x)|为偶函数.故选ABD.

9.0　[解析] ∵f(-x)=-x3-2x=-f(x),故f(-x)+f(x)=0,故f(a)+f(-a)=0.

10.4　[解析] 因为函数f(x)=是奇函数,所以g(x)=x2,所以g(2)=22=4.

11.-1　[解析] 由y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,得f(1)+1+f(-1)+(-1)2=0,解得f(-1)=-3,所以g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1.

12.　[解析] 令x=-1,得f(1)=f(-1)+f(2)=-f(1)+f(2),故=-+f(2),则f(2)=1.令x=1,得f(3)=f(1)+f(2)=+1=.令x=3,得f(5)=f(3)+f(2)=+1=.

13.解:(1)因为函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1],不关于原点对称,所以此函数为非奇非偶函数.

(2)由1-x2≥0,得-1≤x≤1,又|x+2|-2≠0,所以x≠0,

则f(x)的定义域为{x|-1≤x≤1且x≠0},

所以函数f(x)的定义域关于原点对称,则x+2>0,

所以f(x)==.

因为f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数.

14.解:(1)由题意得解得故f(x)=2x+.

(2)函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,

因为f(-x)=-2x+=-2x+=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.

15.1　[解析] 由已知得f(1)=f(-1),g(1)=-g(-1).在f(x)-g(x)=x3+x2+1中,令x=-1,得f(-1)-g(-1)=1,即f(1)+g(1)=1.

16.④　[解析] 对于①,将函数y=f(x-2)的图像向左平移2个单位长度,得到函数y=f(x)的图像,因为y=f(x-2)是偶函数,其图像关于直线x=0对称,所以y=f(x)的图像关于直线x=-2对称,故①错误;对于②,由f(x+2)=-f(x-2),可得f(x+6)=-f(x+2),则f(x+6)=f(x-2),所以f(x+8)=f(x),不能得出y=f(x)的图像关于原点对称,故②错误;对于③,将y=f(x)的图像向左平移2个单位长度,得到y=f(x+2)的图像,将y=f(-x)的图像向右平移2个单位长度,得到y=f(2-x)的图像,因为函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于直线x=0对称,所以函数y=f(x+2)与函数y=f(2-x)的图像关于直线x=0对称,故③错误;对于④,将y=f(x)的图像向右平移2个单位长度,得到y=f(x-2)的图像,将y=f(-x)的图像向右平移2个单位长度,得到y=f(2-x)的图像,因为函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于直线x=0对称,所以函数y=f(x-2)与函数y=f(2-x)的图像关于直线x=2对称,故④正确.故填④.

17.解:(1)证明:令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0),

令x=1,y=0,得f(1)+f(0)=f(1),

则f(0)=0,所以f(x)+f(-x)=0,

故f(x)为奇函数.

(2)设x=a时f(x)取得最大值4,即f(a)=4,

因为函数f(x)是奇函数,所以x=-a时,f(x)取得最小值,最小值为f(-a)=-f(a)=-4.