高中数学人教A版必修第一册5.6 第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册5.6 第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换课时作业含解析，共1页。

[对应学生用书P113]
知识点1 匀速圆周运动的函数模型
模型准备(匀速圆周运动)→模型假设(三角函数模型)→模型建立(H＝rsin(ωt＋φ)＋h)．
知识点2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
1．φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
[微思考]
(1)把函数y＝sin x的图象向右平移2个单位能得到函数y＝sin(x＋2)的图象吗？
提示：不能，应得到y＝sin(x－2)的图象．
(2)由函数y＝cs x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位能得到函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象吗？
提示：由平移的规律可知能得到函数 y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象．
2．ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
[微思考]
(1)把函数y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位，能得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象吗？
提示：不能，应得到y＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))的图象．
(2)把函数y＝sin(－x)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位得到的是函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(π,3)))的图象图象吗？
提示：不是，得到是y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x－\f(π,3)))的图象．
(3)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，可得到什么函数的图象？
提示：应得到y＝sineq \f(1,2)x的图象．
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
[微体验]
把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到________的图象．
答案 y＝6sineq \f(3,2)x
[对应学生用书P114]
探究一 “五点法”作函数图象及相关问题
作出函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，x∈R的简图，并说明它与y＝sin x的图象之间的关系．
解 列表：
描点画图，如图：
利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，x∈R的简图．
从图可以看出，y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象是用下面方法得到的．
方法一：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x→x＋\f(π,3)→2x＋\f(π,3)))，
y＝sin x的图象eq \(――→,\s\up8(向左平移 eq \s\up4(\f(π,3)) 个单位长度 ))
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象eq \(――→,\s\up7(横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)纵坐标不变))
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象eq \(――→,\s\up7(横坐标不变),\s\d5(纵坐标伸长到原来的3倍))
y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象．
方法二：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x→2x→2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝2x＋\f(π,3)))，
y＝sin x的图象eq \(――→,\s\up7(横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)倍纵坐标不变))
y＝sin 2x的图象eq \(――→,\s\up7(向左平移 eq \s\up4(\f(π,6)) 个单位长度, ))
y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象
eq \(――→,\s\up7(横坐标不变),\s\d5(纵坐标伸长为原来的3倍))y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象．
[方法总结]
1．“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
2．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表.
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
[跟踪训练1] 作出函数y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8)， \f(3π,4)))上的图象．
解 令X＝2x－eq \f(π,4)，列表如下：
描点连线得图象如图所示．
探究二 三角函数图象的平移变换
函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，怎样将f(x)的图象变换得到g(x)＝cs ωx的图象？
解 ∵T＝eq \f(2π,ω)＝π，
∴ω＝2.
∴f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，g(x)＝cs 2x.
而sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs 2x.
∴将f(x)的图象向左平移eq \f(π,8)个单位长度得到
g(x)＝cs 2x的图象．
[变式探究] y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象如何变换得到y＝sin x的图象？
解 cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,6)＋\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝sin x，
所以将y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象向右平移eq \f(5π,6)个单位长度得到y＝sin x的图象．
[方法总结]
已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤
(1)将两个函数解析式化简成y＝Asin ωx与y＝Asin(ωx＋φ)，即A，ω及名称相同的结构．
(2)找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单位为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω))).
(3)明确平移的方向．
探究三 三角函数图象的伸缩变换
如何由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝eq \f(1,2)sin 2x的图象？
解 方法一：y＝sin xeq \(――→,\s\up7(横坐标变为原来的eq \f(1,2)纵坐标不变))
y＝sin 2xeq \(――→,\s\up7(纵坐标变为原来的eq \f(1,2)横坐标不变))y＝eq \f(1,2)sin 2x.
方法二：y＝sin xeq \(――→,\s\up7(纵坐标变为原来的eq \f(1,2)横坐标不变))y＝eq \f(1,2)sin xeq \(――→,\s\up7(横坐标变为原来的eq \f(1,2)纵坐标不变))y＝eq \f(1,2)sin 2x.
[方法总结]
三角函数图象伸缩变换的方法
方法一：y＝A1sin ω1xeq \(――→,\s\up7(纵坐标变为原来的 eq \s\up4(\f(A2,A1)) 倍))
y＝A2sin ω1xeq \(――→,\s\up7(横坐标变为原来的 eq \s\up4(\f(ω1,ω2)) 倍))y＝A2sin ω2x.
方法二：y＝A1sinω1xeq \(――→,\s\up7(横坐标变为原来的 eq \s\up4(\f(ω1,ω2)) 倍))
y＝A1sin ω2xeq \(――→,\s\up7(纵坐标变为原来的 eq \s\up4(\f(A2,A1)) 倍))y＝A2sin ω2x.
[跟踪训练2] 将函数y＝sin x的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数解析式为( )
A．y＝2sin x B．y＝eq \f(1,2)sin x
C．y＝sin 2x D．y＝sin eq \f(1,2)x
D [由题意知，最小正周期变为原来的2倍，即4π，所以eq \f(2π,ω)＝4π.因此，ω＝eq \f(1,2).所以所得图象对应的函数解析式为y＝sin eq \f(1,2)x.]
[对应学生用书P115]
1．由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：
(1)y＝sin xeq \(――→,\s\up7(相位变换),\s\d5( ))y＝sin(x＋φ)eq \(――→,\s\up7(周期变换),\s\d5( ))
y＝sin(ωx＋φ)eq \(――→,\s\up7(振幅变换),\s\d5( ))y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xeq \(――→,\s\up7(周期变换),\s\d5( ))y＝sin ωxeq \(――→,\s\up7(相位变换),\s\d5( ))y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(φ,ω)))))＝sin(ωx＋φ)eq \(――→,\s\up7(振幅变换),\s\d5( ))y＝Asin(ωx＋φ)．
提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移eq \f(|φ|,ω)个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
2．类似地，y＝Acs(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象也可由y＝cs x的图象变换得到．
课时作业(四十七) 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换
[见课时作业(四十七)P191]
1．函数y＝cs x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cs ωx，则ω的值为( )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．4 D．eq \f(1,4)
B [由题意可知得到图象的解析式为y＝cseq \f(1,2)x，所以ω＝eq \f(1,2).]
2．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移eq \f(π,10)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,10))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,5)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,20)))
C [函数y＝sin xeq \(――→,\s\up7(向右平移 eq \s\up4(\f(π,10)) 个单位长度))
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,10)))eq \(――→,\s\up7(横坐标伸长到原来的2倍),\s\d5(纵坐标不变))
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,10))).]
3．把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象向右平移eq \f(π,8)个单位，所得图象对应的函数是( )
A．非奇非偶函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数
D．偶函数
D [y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象向右平移eq \f(π,8)个单位得到y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8)))－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝－cs 2x的图象，y＝－cs 2x是偶函数．]
4．将函数y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝cs 2x B．y＝1＋cs 2x
C．y＝1＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) D．y＝cs 2x－1
B [y＝sin 2xeq \(――→,\s\up7(向左平移),\s\d5(\f(π,4)个单位长度))y＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
eq \(――→,\s\up7(向上平移),\s\d5(1个单位长度))y＝sin 2(x＋eq \f(π,4))＋1＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＋1＝1＋cs 2x.]
5．要得到函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移eq \f(5π,12)个单位长度
B．向右平移eq \f(5π,12)个单位长度
C．向左平移eq \f(5π,6)个单位长度
D．向右平移eq \f(5π,6)个单位长度
A [y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5π,12))))).由题意知，要得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,6)))的图象，只需将y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(5π,12)个单位长度．]
6．(多空题)要得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x))的图象，只需将y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x－\f(π,6)))的图象向______平移______个单位长度。
解析 ∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))，
∴要得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x))的图象，只需将
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x－\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度．
答案 右 eq \f(π,3)
7．将函数y＝sin x的图象向左平移φ(0≤φ0，－\f(π,2)≤φ0.
(1)若y＝f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)， \f(2π,3)))上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R，且a0，根据题意有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)ω≥－\f(π,2)，,\f(2π,3)ω≤\f(π,2)))⇒0