高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.1 随机抽样导学案及答案

9.1.2　分层随机抽样

1．分层随机抽样的相关概念

(1)分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．

(2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．

2．样本平均数的计算公式

在分层随机抽样中，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为和，则样本的平均数

＝＋＝＋.

思考1：分层随机抽样的总体具有什么特性？

[提示]　分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体．

思考2：简单随机抽样和分层随机抽样有什么区别和联系？

[提示]　区别：简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本；分层随机抽样则首先将总体分成几层，在各层中按比例分配抽取样本．

联系：(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；

(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样．

1．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为(　　)

A．30　　　　 B．25

C．20   D．15

C　[样本中松树苗为4 000×＝4 000×＝20(棵)．]

2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是(　　)

A．简单随机抽样

B．抽签法

C．随机数表法

D．分层随机抽样

D　[从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样．]

3．某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取        名学生．

40　[C专业的学生有1 200－380－420＝400(名)，由分层随机抽样原理，应抽取120×＝40(名)．]

【例1】　(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适(　　)

A．抽签法法　　　　　　 B．随机数法

C．简单随机抽样法   D．分层随机抽样法

(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行(　　)

A．每层等可能抽样

B．每层可以不等可能抽样

C．所有层按同一抽样比等可能抽样

D．所有层抽取的个体数量相同

(1)D　(2)C　[(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样法．

(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．]

1．使用分层随机抽样的前提

分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小．

2．使用分层随机抽样应遵循的原则

(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；

(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．

1．下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　)

A．从10名同学中抽取3人参加座谈会

B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本

C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间

D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

B　[A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．]

【例2】　某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．

[解]　抽样过程如下：

第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为＝.

第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)；从教师中抽取112×＝14(人)；从后勤人员中抽取32×＝4(人)．

第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师人员14人，后勤人员4人．

第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．

分层随机抽样的步骤

2．某一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．

[解]　因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层随机抽样的方法．

具体过程如下：

第一步，将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．

第二步，按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人，40人，100人，40人，60人．

第三步，按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．

第四步，将300人合到一起，即得到一个样本．

[探究问题]

1．在分层随机抽样中，N为总体容量，n为样本容量，如何确定各层的个体数？

[提示]　每层抽取的个体的个数为ni＝Ni×，其中Ni为第i(i＝1,2，…，k)层的个体数， 为抽样比．

2．在分层随机抽样中，总体容量、样本容量、各层的个体数、各层抽取的样本数这四者之间有何关系？

[提示]　设总体容量为N，样本容量为n，第i(i＝1,2，…，k)层的个体数为Ni，各层抽取的样本数为ni，则＝，这四者中，已知其中三个可以求出另外一个．

【例3】　(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)

A．101　　　B．808　　　C．1 212　　　D．2 012

(2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取        个个体．

(3)分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为            ．

(1)B　(2)20　(3)6　[(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，

所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝，

所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷＝808(人)．

(2)∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，又有总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层随机抽样应从C中抽取100×＝20(个)个体．

(3)＝×3＋×8＝6.]

在例3(2)中，A，B，C三层的样本的平均数分别为15,30,20，则样本的平均数为        ．

20．5　[由题意可知样本的平均数为

＝×15＋×30＋×20＝20.5.]

进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的2个关系

(1)＝；

(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．

(3)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：

＝＋＝＋.

1．对于分层随机抽样问题，常利用以下关系式求解：

＝.

2．选择抽样方法的规律：

(1)当总体和样本量都较小时，采用抽签法；当总体量较大，样本量较小时，采用随机数法；

(2)当总体可以分为若干个层时，采用分层随机抽样．

1．判断正误

(1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小．(　　)

(2)分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本数量较少，这是不公平的．(　　)

(3)从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层随机抽样．(　　)

[提示]　(1)错误．在统计实践中选择哪种抽样方法除看总体和样本容量大小外，还要依据总体的构成情况．

(2)错误．根据抽样的意义，对每个个体都是公平的．

(3)错误．适合用简单随机抽样．

[答案]　(1)×　 (2)×　 (3)×

2．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　)

A．抽签法　　　　　　 B．简单随机抽样

C．分层随机抽样   D．随机数法

C　[根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样．]

3．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生(　　)

A．30人，30人，30人   B．30人，45人，15人

C．20人，30人，40人   D．30人，50人，10人

B　[先求抽样比＝＝，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×＝30(人)，乙校抽取5 400×＝45(人)，丙校抽取1 800×＝15(人)，故选B.]

4．某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取        名学生．

60　[根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300＝60.]

5．一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，用分层随机抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本. 请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．

[解]　第一步，确定抽样比，因为100＋60＋40＝200，所以＝，

第二步，确定各层抽取的样本数，一级品：100×＝10，二级品：60×＝6，

三级品：40×＝4.

第三步：采用简单随机抽样的方法，从各层分别抽取样本．

第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．