数学人教A版 (2019)8.1 基本立体图形第2课时综合训练题

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．下列几何体是简单组合体的是(　　)

答案　D

解析　A项中的几何体是圆锥，B项中的几何体是圆柱，C项中的几何体是球，D项中的几何体是一个圆台中挖去一个圆锥，是简单组合体．

2．给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行．其中正确命题的个数为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　B

解析　本题的判断依据是圆柱的定义及结构特征．①中圆柱的底面是圆面，而不是圆，故①错误；②和④中，圆柱有无数条母线，它们平行且相等，并且母线都与底面垂直，②④正确；③中连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，故③错误．故选B.

3．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　)

A．一个球体

B．一个球体中间挖去一个圆柱

C．一个圆柱

D．一个球体中间挖去一个长方体

答案　B

解析　圆面旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.

4．若用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，则此圆柱轴截面的面积为(　　)

A．8  B.  C.  D.

答案　B

解析　若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积也为.

5．两平行平面截半径为5的球，若截面的面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是(　　)

A．1  B．7  C．3或4  D．1或7

答案　D

解析　如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝－＝1.如图(2)所示，若两个平行平面在球心两侧，则CD＝＋＝7.故选D.

二、填空题

6．已知圆锥的底面半径为1 cm，高为 cm，其内部有一个内接正方体，则这个内接正方体的棱长为________．

答案　 cm

解析　过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1，如图所示．

设正方体棱长为x cm，

则CC1＝x cm，C1D1＝x cm，

作SO⊥EF于O，则SO＝ cm，OE＝1 cm，

∵△ECC1∽△ESO，∴＝，

即＝，∴x＝，即内接正方体棱长为 cm.

7．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面的面积与球的一个大圆面积之比为________．

答案　3∶4

解析　令球的半径为2r，则截面的半径为r，截面的面积为3πr2，大圆的面积为4πr2，所以它们的面积之比为3∶4.

8．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形有________．

答案　①②③

解析　当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.

三、解答题

9.如图所示，已知圆锥的母线长为6 cm，底面直径为3 cm，在母线OA上有一点B，AB＝2 cm，求由A点绕圆锥侧面一周到B点的最短距离．

解　设侧面展开的扇形圆心角为n.

由题意知底面周长为3π cm，

则＝3π，解得n＝90°.

如图，在展开扇形中，

∠AOB′＝90°，OB′＝4 cm.

在Rt△AOB′中，

AB′＝＝＝2 cm.

故由A点绕圆锥侧面一周到B点的最短距离为2 cm.

B级：“四能”提升训练

1．由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形如图所示，若将它绕轴旋转180°后形成一个组合体，则下面说法不正确的是(　　)

A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体

B．该组合体仍然关于旋转轴对称

C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点

D．该组合体中的球和半球只有一个公共点

答案　A

解析　等腰梯形旋转形成的是圆台，矩形旋转形成的是圆柱，半圆旋转形成的是半球，圆旋转形成的是球，倒三角形旋转形成的是圆锥．

2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面的半径．

解　圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面的半径分别为x cm,3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S，

在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，

所以SO＝AO＝3x，SO1＝A1O1＝x，所以OO1＝2x.

又S轴截面＝(6x＋2x)·2x＝392，所以x＝7.

所以圆台的高OO1＝14(cm)，母线长l＝OO1＝14(cm)，

两底面的半径分别为7 cm,21 cm.