高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直第1课时当堂达标检测题

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是(　　)

A．60°   B．120°

C．60°或120° D．不确定

答案　C

解析　若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.

2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)

A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α

C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β

答案　C

解析　∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β.

3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C－BD－C1的大小是(　　)

A．30° B．45° 

C．60° D．90°

答案　A

解析　如图，过点C作CE⊥BD于E，连接C1E，则∠CEC1为二面角C－BD－C1的平面角，由等面积公式得CE＝＝，

tan∠CEC1＝＝＝，

因为0°≤∠CEC1≤180°，所以∠CEC1＝30°.

4．如图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是(　　)

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

C．平面ABD⊥平面BDC

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

答案　B

解析　由条件得AC⊥DE，AC⊥BE，又DE∩BE＝E，∴AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ADC，AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE，故选B.

5.如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是(　　)

A．平面EFG∥平面PBC

B．平面EFG⊥平面ABC

C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角

D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角

答案　D

解析　A正确，∵点E，F，G分别是所在棱的中点，∴GF∥PC，GE∥CB，∵GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC；B正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；C正确，易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；D错误，∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．

二、填空题

6．如图所示，一山坡的坡面与水平面成30°的二面角，坡面上有一直道AB，它和坡脚的水平线成30°的角，沿这山路行走20 m后升高_________m.

答案　5

解析　如图，过B作BH⊥水平面，过H作HC⊥坡脚线，连接BC，则∠BAC＝30°，由BH⊥AC，HC⊥AC，BH∩HC＝H，知AC⊥平面BHC，从而BC⊥AC，所以∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角，所以∠BCH＝30°，在Rt△ABC和Rt△BCH中，因为AB＝20 m，所以BC＝AB·sin30°＝10 m，所以BH＝BC·sin30°＝5 m.

7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________.

答案　1

解析　∵AD⊥BC，∴BD⊥AD，CD⊥AD，

∴∠BDC为平面ABD与平面ACD所成二面角的平面角，

∴∠BDC＝90°，

又AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，

∴BD＋CD＝＝，

∴BD＝CD＝，折叠后，

在Rt△BDC中，BC＝＝1.

8．如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下面四个结论：

①三棱锥A－D1PC的体积不变；

②A1P∥平面ACD1；

③DP⊥BC1；

④平面PDB1⊥平面ACD1.

其中正确的结论的序号是________(写出所有你认为正确结论的序号)．

答案　①②④

解析　连接AC，A1C1，A1B，AD1，D1C.因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1.又因为AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1.同理可证AD1∥平面A1BC1，又因为AC⊂平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，且AC∩AD1＝A，所以平面ACD1∥平面A1BC1.因为A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，故②正确．因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面ACD1，所以点P到平面ACD1的距离不变．又因为VA－D1PC＝VP－ACD1，所以三棱锥A－D1PC的体积不变，故①正确．连接DB，DC1，DP，因为DB＝DC1，所以当P为BC1的中点时才有DP⊥BC1，故③错误．因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1.又因为AC⊥BD，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BB1D1D.连接B1D，又因为B1D⊂平面BB1D1D，所以B1D⊥AC.同理可证B1D⊥AD1.又因为AC⊂平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，AC∩AD1＝A，所以B1D⊥平面ACD1.又因为B1D⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，故④正确．

三、解答题

9．如图，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，点P，M分别是SC和SB的中点，设PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直线AM与直线PC所成的角为60°.

(1)求证：平面MAP⊥平面SAC；

(2)求二面角M－AC－B的平面角的正切值．

解　(1)证明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，

又∠ACB＝90°，

∴AC⊥BC，又AC∩SC＝C，∴BC⊥平面SAC，

又P，M分别是SC，SB的中点，

∴PM∥BC，∴PM⊥平面SAC，又PM⊂平面MAP，

∴平面MAP⊥平面SAC.

(2)同(1)，可证AC⊥平面SBC，

∴AC⊥CM，AC⊥CB，

从而∠MCB为二面角M－AC－B的平面角，

∵直线AM与直线PC所成的角为60°，

∴过点M作MN⊥CB于点N，连接AN，如图所示，∴MN∥PC，

则∠AMN＝60°，在Rt△CAN中，CN＝PM＝1，AC＝1，由勾股定理得AN＝.

在Rt△AMN中，MN＝＝·＝.

在Rt△CNM中，tan∠MCN＝＝＝，

故二面角M－AC－B的平面角的正切值为.

B级：“四能”提升训练

　在直角梯形ABCD中，∠D＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝AB＝a(如图所示)，将△ADC沿AC折起，将D翻到D′，记平面ACD′为α，平面ABC为β，平面BCD′为γ.

(1)若二面角α－AC－β为直二面角，求二面角β－BC－γ的大小；

(2)若二面角α－AC－β为60°，求三棱锥D′－ABC的体积．

解　(1)在直角梯形ABCD中，由已知得△DAC为等腰直角三角形，∴AC＝a，∠CAB＝45°.

如图所示，过C作CH⊥AB，垂足为H，

则AH＝CH＝a.

又AB＝2a，∴BH＝a，BC＝a，

∵AC2＋BC2＝AB2，

∴AC⊥BC.

取AC的中点E，连接D′E，

则D′E⊥AC.

∵二面角α－AC－β为直二面角，∴D′E⊥β.

又∵BC⊂平面β，∴BC⊥D′E.

∵AC∩D′E＝E，∴BC⊥α.

而D′C⊂α，∴BC⊥D′C，

∴∠D′CA为二面角β－BC－γ的平面角．

由于∠D′CA＝45°，

∴二面角β－BC－γ为45°.

(2)如图所示，过D′作D′O⊥β，垂足为O，连接OE，

∵AC⊂β，∴D′O⊥AC.

又由(1)可知AC⊥D′E，D′O与D′E相交于点D′，

∴AC⊥平面D′EO.∴AC⊥OE.

∴∠D′EO为二面角α－AC－β的平面角，

∴∠D′EO＝60°.

在Rt△D′OE中，

D′E＝AC＝a，D′O＝D′E＝a.

∴V三棱锥D′－ABC＝S△ABC·D′O＝×AC·BC·D′O＝×a×a×a＝a3.