高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第1课时课堂检测

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　)

A．2   B．

C．2或   D．以上都不对

答案　C

解析　∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴5＝15＋c2－2×c×.化简，得c2－3c＋10＝0，即(c－2)(c－)＝0，∴c＝2或c＝.

2．在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为(　　)

A．正三角形   B．直角三角形

C．等腰直角三角形   D．等腰三角形

答案　B

解析　∵sin2＝＝，∴cosA＝＝⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC为直角三角形．

3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2，则角C为(　　)

A．   B． 

C．   D．

答案　B

解析　∵a2＋b2＋ab＝c2，∴a2＋b2－c2＝－ab，cosC＝＝＝－，∵C∈(0，π)，∴C＝.

4．钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围为(　　)

A．<a<3   B．≤a<3

C．≤a≤3   D．<a≤3

答案　B

解析　设钝角三角形的最大角为α，则依题意90°<α≤120°，于是由余弦定理得cosα＝＝，所以－≤<0，解得≤a<3.

5．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的最大角为(　　)

A．150°   B．120° 

C．60°   D．75°

答案　B

解析　令x＝2，得x2＋x＋1＝7，x2－1＝3,2x＋1＝5，

∴最大边x2＋x＋1应对最大角，设最大角为α，

∴cosα＝＝－，

∴最大角为120°.

二、填空题

6．若||＝2，||＝3，·＝－3，则△ABC的周长为________．

答案　5＋

解析　由·＝||||cosA及条件，可得cosA＝－，∴A＝120°，再由余弦定理求得BC2＝19，∴周长为5＋.

7．三角形三边长分别为a，b, (a>0，b>0)，则最大角为________．

答案　120°

解析　易知 >a, >b，

设最大角为θ，

则cosθ＝＝－，∴θ＝120°.

8．如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝3，BD＝5，sin∠ABC＝，则CD的长度等于________．

答案　4

解析　由题意知

sin∠ABC＝＝sin＝cos∠CBD，

由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝27＋25－2×3×5×＝16.∴CD＝4.

三、解答题

9．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA＝.

(1)求·；

(2)若c－b＝1，求a的值．

解　(1)在△ABC中，∵cosA＝，∴sinA＝.

又S△ABC＝bcsinA＝30，

∴bc＝12×13.

∴·＝||||cosA＝bccosA＝144.

(2)由(1)知bc＝12×13，又c－b＝1，

∴b＝12，c＝13.

在△ABC中，由余弦定理，得

a2＝b2＋c2－2bccosA＝122＋132－2×12×13×＝25，

∴a＝5.

B级：“四能”提升训练

1．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．钝角三角形   D．由增加的长度确定

答案　A

解析　设直角三角形的三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，所以c＋x所对的最大角变为锐角．

2．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状．

解　由余弦定理，知

cosA＝，cosB＝，cosC＝，

代入已知条件，得

a·＋b·＋c·＝0，

通分，得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，

展开整理，得(a2－b2)2＝c4.

∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.

根据勾股定理，知△ABC是直角三角形．