人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直同步练习题

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8.6.1 直线与直线垂直（用时45分钟）【选题明细表】 知识点、方法题号异面直线所成角1,4,5,6,8,9异面直线垂直2,3综合问题7,10,11,12基础巩固1．在正方体中，异面直线与所成角的大小是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图正方体中因为即为异面直线与所成角，又为等腰直角三角形故选：2．如图所示，四棱锥的底面是边长的为1的正方形，侧棱，，则它的五个面中，互相垂直的共有（    ）A．3对 B．4对C．5对 D．6对【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，可得底面，面，面，可得：面面，面面，面，可得面面，面，可得面面，面，可得面，故选C．3．如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论：①与所在直线垂直；                ②与所在直线平行；③与所在直线成60°角；            ④与所在直线异面.其中正确结论的序号是（    ）A．①② B．①③ C．③④ D．②④【答案】C【解析】画出原正方体如图所示，连接，，由图可知①②错误；，所以为等边三角形，所以③与所在直线成60°角是正确的；显然④与所在直线异面是正确的.综上，③④正确.故选：C4．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与所成角的余弦值是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】如图，取AD的中点G，连接EG，GF，∠GEF为直线AD1与EF所成的角设棱长为2，则EG=，GF=1，EF=cos∠GEF=，故选C．5．直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（    ）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为，故选C．6．如图,空间四边形的对角线,,分别为的中点,并且异面直线与所成的角为90°,则等于_______.【答案】5【解析】如图,取的中点P,连接,，则,,即为异面直线与所成的角(或其补角)..又,,.故答案为：57．如图，为等边三角形所在平面外一点，且，分别为的中点，则异面直线与所成的角为______.【答案】45°【解析】如图，取的中点，连接，则等于异面直线与所成角.设，则.取的中点，连接.，为等边三角形，，平面，，.所以，异面直线与所成的角为.故答案为：8．如图，是圆的直径，点是弧的中点，分别是的中点，求异面直线与所成的角.【答案】【解析】是圆的直径，.∵点是弧的中点，.在中，分别为的中点，，与所成的角为. 能力提升9．在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成的角的取值范围是（     ）A． B．C． D．【答案】D【解析】连接，因为，所以与所成的角就是与所成的角，即.当点从向运动时，从增大到，但当点与重合时，，与与为异面直线矛盾，所以异面直线与所成的角的取值范围是.故选：10．在四面体ABCD中，AC与BD的夹角为，，，M，N分别是AB，CD的中点，则线段MN的长度为________．【答案】1或【解析】取AD中点P，因为M，N分别是AB，CD的中点，所以MP//BD,NP//AC，且因为AC与BD的夹角为，所以或因此或11．如图,在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求的长.【答案】【解析】连接.由题意得四棱柱中，，，∴四边形是平行四边形，，（或其补角）为和所成的角.∵异面直线和所成的角为，.∵四棱柱中，，是等腰直角三角形，.∵底面四边形是菱形且，，，，. 素养达成12．如图，已知是平行四边形所在平面外一点， 分别是的中点.（1）求证： 平面；（2）若， ，求异面直线与所成的角的大小.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）取PD的中点H，连接AH，NH，∵N是PC的中点，∴NHDC.∵M是AB的中点，且DCAB，∴NHAM，即四边形AMNH为平行四边形．∴MN∥AH.又MN⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD.（2）连接AC并取其中点O，连接OM、ON，则OMBC，ONPA.∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由MN＝BC＝4，PA＝，得OM＝2，ON＝.∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠ONM＝30°，即异面直线PA与MN成30°的角．