人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第2课时课后练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第2课时课后练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(四十三) 单调性与最值


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．下列函数中，周期为π，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上为减函数的是( )


A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))) B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))


C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))


A [对于选项A，注意到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs 2x的周期为π，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是减函数．]


2．下列关系式中正确的是( )


A．sin 11°

B．sin 168°

C．sin 11°

D．sin 168°

C [由诱导公式，得cs 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，由正弦函数y＝sin x在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11°

3．函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，x∈[－π，0]的单调递增区间是( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(5π,6))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，－\f(π,6)))


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0)) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))


D [令2kπ－eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，


解得2kπ－eq \f(π,6)≤x≤2kπ＋eq \f(5,6)π，k∈Z，


又－π≤x≤0，∴－eq \f(π,6)≤x≤0，


故选D.]


4．函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的值域是( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))


B [因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，所以y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).]


5．设函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ＋\f(π,4)))(ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的最小正周期为π，且是偶函数，则( )


A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))单调递减


B．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))单调递减


C．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))单调递增


D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))单调递增


A [由条件知ω＝2.


∵f(x)是偶函数且|φ|＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,4)，


这时f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝eq \r(2)cs 2x.


∵x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x∈(0，π)，


∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递减．]


二、填空题


6．y＝acs x＋1的最大值为5，则a＝ .


±4 [∵|a|＋1＝5，∴|a|＝4，∴a＝±4.]


7．将cs 150°，sin 470°，cs 760°按从小到大排列为 ．


cs 150°＜cs 760°＜sin 470° [cs 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cs 20°＞0，cs 760°＝cs 40°＞0且cs 20°＞cs 40°，所以cs 150°＜cs 760°＜sin 470°.]


8．已知函数y＝sineq \f(πx,3)在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是 ．


8 [因为T＝eq \f(2π,\f(π,3))＝6.


所以在[0，＋∞)第一次出现最大值x＝eq \f(6,4)＝eq \f(3,2)，


第二次出现最大值x＝eq \f(15,2)，


所以t≥eq \f(15,2).


又因为t∈Z，


所以t的最小值为8.]


三、解答题


9．求下列函数的单调递增区间．


(1)y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))，x∈[0，π]；


(2)y＝lgeq \s\d5(eq \f(1,2))sin x.


[解] (1)由y＝－eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的单调性，


得eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，


即eq \f(2π,3)＋2kπ≤x≤eq \f(5π,3)＋2kπ，k∈Z.


又x∈[0，π]，故eq \f(2π,3)≤x≤π.


即单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π)).


(2)由sin x＞0，得


2kπ＜x＜2kπ＋π，k∈Z，


∴函数的定义域为(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．设u＝sin x，则0＜u≤1，又y＝lgeq \f(1,2)u是减函数，


∴函数的值域为(0，＋∞)．


∵eq \f(1,2)＜1，


∴函数y＝lgeq \f(1,2)sin x的递增区间


即为u＝sin x(sin x＞0)的递减区间，


故函数y＝lgeq \f(1,2)sin x的递增区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋π))(k∈Z)．


10．求下列函数的最大值和最小值．


(1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))；


(2)y＝－2cs2x＋2sin x＋3，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))).


[解] (1)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，


2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，由函数图象(略)知，


－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))≤1，


∴f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值分别为1，－eq \f(1,2).


(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3


＝2sin2x＋2sin x＋1


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2).


∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，


∴eq \f(1,2)≤sin x≤1.


当sin x＝1时，ymax＝5；


当sin x＝eq \f(1,2)时，ymin＝eq \f(5,2).





11．函数f(x)＝eq \f(1,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的最大值为( )


A.eq \f(6,5) B．1


C.eq \f(3,5) D．eq \f(1,5)


A [∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))＝eq \f(π,2)，


∴f(x)＝eq \f(1,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))


＝eq \f(1,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))


＝eq \f(1,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))


＝eq \f(6,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))


≤eq \f(6,5).


∴f(x)max＝eq \f(6,5).


故选A.]


12．(多选题)已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1，则下列说法中正确的是( )


A．函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称


B．函数f(x)图象的一条对称轴是x＝－eq \f(π,12)


C．若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，则函数f(x)的最小值为eq \r(3)＋1


D．若0

BC [对于函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1，


当x＝eq \f(π,3)时，f(x)＝eq \r(3)＋1，故选项A不正确；当x＝－eq \f(π,12)时，f(x)＝－1，为最小值，故函数f(x)图象的一条对称轴是x＝－eq \f(π,12)，故选项B正确；当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，故当2x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)时，f(x)取得最小值为eq \r(3)＋1，故选项C正确；若0

13．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，则b－a的最大值是 ．


eq \f(4π,3) [因为函数y＝sin x，x∈[a，b]的最小值和最大值分别为－1和eq \f(1,2).


不妨在一个区间[0,2π]内研究，可知sineq \f(π,6)＝sineq \f(5π,6)＝eq \f(1,2)，sineq \f(3π,2)＝－1，


结合图象(略)可知(b－a)min＝eq \f(3π,2)－eq \f(5π,6)＝eq \f(2π,3)，(b－a)max＝eq \f(3π,2)－eq \f(π,6)＝eq \f(4π,3).]


14．若函数f(x)＝sin ωx(0＜ω＜2)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω等于 ．


eq \f(3,2) [根据题意知f(x)在x＝eq \f(π,3)处取得最大值1，


∴sineq \f(ωπ,3)＝1，∴eq \f(ωπ,3)＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，


即ω＝6k＋eq \f(3,2)，k∈Z.


又0＜ω＜2，∴ω＝eq \f(3,2).]





15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为R上的偶函数，其图象关于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，0))对称，且在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是单调函数，求φ和ω的值．


[解] 由f(x)是偶函数，得sin φ＝±1，


所以φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z .


因为0≤φ≤π，所以φ＝eq \f(π,2).


由f(x)的图象关于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))对称，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝0.


因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3ωπ,4)＋\f(π,2)))＝cs eq \f(3ωπ,4)，所以cs eq \f(3ωπ,4)＝0.


又因为ω>0，所以eq \f(3ωπ,4)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈N，


即ω＝eq \f(2,3)＋eq \f(4,3)k，k∈N.


当k＝0时，ω＝eq \f(2,3)，此时f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋\f(π,2)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是减函数；


当k＝1时，ω＝2，此时f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是减函数；


当k≥2时，ω≥eq \f(10,3)，此时f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,2)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上不是单调函数．


综上，φ＝eq \f(π,2)，ω＝eq \f(2,3)或ω＝2.