高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时同步测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第1课时同步测试题，共10页。


两角差的余弦公式
1．sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°＝( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(1,2)
C．－eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(1,2)
B [∵sin 14°＝cs 76°，cs 74°＝sin 16°，
∴原式＝cs 76°cs 16°＋sin 76°sin 16°＝cs(76°－16°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).]
2．cs(－15°)的值是( )
A.eq \f(\r(6)－\r(2),2) B.eq \f(\r(6)＋\r(2),2)
C.eq \f(\r(6)－\r(2),4) D.eq \f(\r(6)＋\r(2),4)
D [cs(－15°)＝cs 15°＝cs(45°－30°)＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).]
3．cs 65°cs 20°＋sin 65°sin 20°＝________.
eq \f(\r(2),2) [cs 65°cs 20°＋sin 65°sin 20°＝cs(65°－20°)＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2).]
给角求值问题
【例1】 (1)cseq \f(13π,12)的值为( )
A.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) B.eq \f(\r(6)－\r(2),4)
C.eq \f(\r(2)－\r(6),4) D．－eq \f(\r(6)＋\r(2),4)]
(2)求下列各式的值：
①cs 75°cs 15°－sin 75°sin 195°；
②sin 46°cs 14°＋sin 44°cs 76°；
③eq \f(1,2)cs 15°＋eq \f(\r(3),2)sin 15°.
(1)D [cseq \f(13π,12)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,12)))＝－cseq \f(π,12)
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,6)))
＝－cseq \f(π,4)cseq \f(π,6)－sineq \f(π,4)sineq \f(π,6)
＝－eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝－eq \f(\r(6)＋\r(2),4).]
(2)解：①cs 75°cs 15°－sin 75°sin 195°
＝cs 75°cs 15°－sin 75°sin(180°＋15°)
＝cs 75°cs 15°＋sin 75°sin 15°
＝cs(75°－15°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).
②sin 46°cs 14°＋sin 44°cs 76°
＝sin(90°－44°)cs 14°＋sin 44°cs(90°－14°)
＝cs 44°cs 14°＋sin 44°sin 14°
＝cs(44°－14°)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).
③eq \f(1,2)cs 15°＋eq \f(\r(3),2)sin 15°
＝cs 60°cs 15°＋sin 60°sin 15°
＝cs(60°－15°)＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2).
1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
2．两角差的余弦公式的结构特点：
(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．
(2)把所得的积相加．
1．化简下列各式：
(1)cs(θ＋21°)cs(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
[解] (1)原式＝cs[θ＋21°－(θ－24°)]＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2).
(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°
＝sin 13°sin 43°＋cs 13°cs 43°
＝cs(13°－43°)＝cs(－30°)＝eq \f(\r(3),2).
给值(式)求值问题
[探究问题]
1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cs α的值？
提示：cs α＝cs[(α＋β)－β]
＝cs(α＋β)cs β＋sin(α＋β)sin β.
2．利用α－(α－β)＝β可得cs β等于什么？
提示：cs β＝cs[α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)．
【例2】 (1)已知sin α－sin β＝1－eq \f(\r(3),2)，cs α－cs β＝eq \f(1,2)，则cs(α－β)＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，求cs α的值．
[思路点拨] (1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C(α－β)求cs(α－β)．
(2)由已知角eq \f(π,3)＋α与所求角α的关系即α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－eq \f(π,3)寻找解题思路．
(1)D [因为sin α－sin β＝1－eq \f(\r(3),2)，
所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(3),2)))2， ①
因为cs α－cs β＝eq \f(1,2)，所以cs2α－2cs αcs β＋cs2β＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2， ②
①，②两式相加得1－2cs(α－β)＋1＝1－eq \r(3)＋eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)
所以－2cs(α－β)＝－eq \r(3)
所以cs(α－β)＝eq \f(\r(3),2).
(2)[解] ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，∴eq \f(π,3)＋α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α)))
＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))2)＝－eq \f(5,13).
∵α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－eq \f(π,3)，
cs α＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－\f(π,3)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))cseq \f(π,3)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))sineq \f(π,3)＝－eq \f(5,13)×eq \f(1,2)＋eq \f(12,13)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(12\r(3)－5,26).]
1．将例2(2)的条件改为“sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，且eq \f(π,4)<α[解] ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，且eq \f(π,4)<α∴eq \f(π,2)<α＋eq \f(π,4)<π，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝－eq \f(3,5)，
∴cs α＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))cs eq \f(π,4)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))sin eq \f(π,4)
＝－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),10).
2．将例2(2)的条件改为“sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))”，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))的值．
[解] ∵eq \f(π,6)＜α＜eq \f(5π,6)，∴－eq \f(π,2)＜eq \f(π,3)－α＜eq \f(π,6)，
又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(12,13)＜0，
∴－eq \f(π,2)＜eq \f(π,3)－α＜0，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α)))＝eq \f(5,13)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)cs
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＋eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(5,13)＋eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＝－eq \f(7\r(2),26).
给值求值问题的解题策略
1已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.
2由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：
①α＝α－β＋β；
②eq α＝\f(α＋β,2)＋\f(α－β,2)；
③2α＝α＋β＋α－β；
④2β＝α＋β－α－β.
给值求角问题
【例3】 已知sin(π－α)＝eq \f(4\r(3),7)，cs(α－β)＝eq \f(13,14)，0＜β＜α＜eq \f(π,2)，求角β的大小．
[思路点拨] eq \x(求cs α、sinα－β)→eq \x(\a\al(求cs β＝,cs[α－α－β]))→eq \x(求β)
[解] 因为sin(π－α)＝eq \f(4\r(3),7)，
所以sin α＝eq \f(4\r(3),7).因为0＜α＜eq \f(π,2)，
所以cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(1,7).
因为cs(α－β)＝eq \f(13,14)，
且0＜β＜α＜eq \f(π,2)，所以0＜α－β＜eq \f(π,2)，
所以sin(α－β)＝eq \r(1－cs2α－β)＝eq \f(3\r(3),14)，
所以cs β＝cs[α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)＝eq \f(1,7)×eq \f(13,14)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(1,2).因为0＜β＜eq \f(π,2)，所以β＝eq \f(π,3).
已知三角函数值求角的解题步骤
1界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.
2求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.
3结合三角函数值及角的范围求角.
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
2．已知α，β均为锐角，且cs α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，求α－β的值．
[解] ∵α，β均为锐角，
∴sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(3\r(10),10)，
∴cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).
又sin α∴0<α<β故α－β＝－eq \f(π,4).
1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
1．思考辨析
(1)cs(60°－30°)＝cs 60°－cs 30°.( )
(2)对于任意实数α，β，cs(α－β)＝cs α－cs β都不成立．( )
(3)对任意α，β∈R，cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β都成立．( )
(4)cs 30°cs 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )
[提示] (1)错误．cs(60°－30°)＝cs 30°≠cs 60°－cs 30°.
(2)错误．当α＝－45°，β＝45°时，cs(α－β)＝cs(－45°－45°)＝cs(－90°)＝0，cs α－cs β＝cs(－45°)－cs 45°＝0，此时cs(α－β)＝cs α－cs β.
(3)正确．结论为两角差的余弦公式．
(4)正确．cs 30°cs 120°＋sin 30°sin 120°＝cs(120°－30°)＝cs 90°＝0.
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cs α＝eq \f(12,13)，sin β＝－eq \f(3,5)，则cs(α－β)的值为( )
A．－eq \f(63,65) B．－eq \f(33,65) C.eq \f(63,65) D.eq \f(33,65)
A [∵α为锐角，cs α＝eq \f(12,13)，∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(5,13)，
∵β为第三象限角，sin β＝－eq \f(3,5)，
∴cs β＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(4,5)，
∴cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(63,65).]
3．cs(α－35°)cs(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________.
eq \f(1,2) [原式＝cs[(α－35°)－(α＋25°)]
＝cs(－60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).]
4．已知sin α＝－eq \f(4,5)，sin β＝eq \f(5,13)，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cs(α－β)的值．
[解] 因为sin α＝－eq \f(4,5)，180°＜α＜270°，
所以cs α＝－eq \f(3,5).
因为sin β＝eq \f(5,13)，90°＜β＜180°，
所以cs β＝－eq \f(12,13)，
所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(5,13)
＝eq \f(36,65)－eq \f(20,65)＝eq \f(16,65).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)
2．理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点)
3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点)
1. 通过两角差的余弦公式的推导，培养数学运算素养．
2. 借助公式的变形、正用、逆用，提升逻辑推理素养.
公式
cs(α－β)＝cs_αcs_β＋sin_αsin_β
适用条件
公式中的角α，β都是任意角
公式结构
公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反