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    人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质课堂检测

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    这是一份人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质课堂检测,文件包含人教版数学必修第一册321《单调性与最大小值》精讲练习1原卷版doc、人教版数学必修第一册321《单调性与最大小值》精讲练习1解析版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共20页, 欢迎下载使用。

    
    3.2.1 单调性与最大(小)值
    第1课时 函数的单调性
    (教师独具内容)
    课程标准:1.理解函数的单调性和单调区间的概念.2.会划分函数的单调区间,判断函数的单调性,会用符号语言表达函数的单调性.3.会用定义证明函数的单调性.
    教学重点:1.函数单调性的定义及其几何特征.2.用定义证明函数的单调性.
    教学难点:用定义证明函数的单调性.

    【知识导学】
    知识点一   函数的单调性及其符号表达
    (1)函数单调性的概念
    函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性.
    (2)函数单调性的符号表达
    一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I:
    如果∀x1,x2∈D,当x1 如果∀x1,x2∈D,当x1f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.
    知识点二   增函数、减函数
    当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数(increasing function).
    当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数(decreasing function).
    知识点三   单调区间
    如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
    【新知拓展】
    1.单调性是函数的局部性质,但在其单调区间上是整体性质,因此对x1,x2有下列要求:
    (1)属于同一个区间D;
    (2)任意性,即x1,x2是定义域中某一区间D上的任意两个值,不能用特殊值代替;
    (3)有大小,即确定的任意两值x1,x2必须区分大小,一般令x1 2.并非所有的函数都具有单调性.如f(x)=
    它的定义域为N,但不具有单调性.
    3.单调区间
    (1)这个区间可以是整个定义域.如y=x在整个定义域(-∞,+∞)上单调递增, y=-x在整个定义域(-∞,+∞)上单调递减;
    (2)这个区间也可以是定义域的真子集.如y=x2在定义域(-∞,+∞)上不具有单调性,但在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.
    4.函数在某个区间上单调递增(减),但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减).如函数y=(x≠0)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递减,但是在整个定义域上不具有单调性.
    5.一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“和”或“,”连接.如函数y=(x≠0)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递减,不能认为y=(x≠0)的单调递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞).
    6.函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的.对于单独的一点,它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题.因此在写单调区间时,区间端点可以包括,也可以不包括.但对于函数式无意义的点,单调区间一定不能包括这些点.
    7.图象变换对单调性的影响
    (1)上下平移不影响单调区间,即y=f(x)和y=f(x)+b的单调区间相同.
    (2)左右平移影响单调区间.如y=x2的单调递减区间为(-∞,0];y=(x+1)2的单调递减区间为(-∞,-1].
    (3)y=k·f(x),当k>0时单调区间与f(x)相同,当k<0时单调区间与f(x)相反.

    1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)所有函数在定义域上都具有单调性.(  )
    (2)函数单调递增(减)定义中的“∀x1,x2∈D”可以改为“∃x1,x2∈D”.(  )
    (3)若区间D是函数f(x)的一个单调递增区间,且x1,x2∈D,若x1 (4)设D是函数f(x)定义域内的某个区间,若∃x1,x2∈D,当x1f(x2),则f(x)在区间D上不单调递增.(  )
    (5)对于二次函数y=x2-2x+3,它在(-∞,0]上单调递减,所以它的单调递减区间是(-∞,0].(  )
    答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
    2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
    (1)已知函数f(x)=x的图象如图1所示,从左至右图象是上升的还是下降的:________.
    (2)已知函数y=f(x)的图象如图2所示,则该函数的单调递增区间是________,单调递减区间是________.

    (3)下列函数f(x)中,满足∀x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2)的是________.
    ①f(x)=x2;②f(x)=;③f(x)=|x|;④f(x)=2x+1.
    答案 (1)上升的 (2)(-∞,-1],(1,+∞) [-1,1]
    (3)②

    题型一 证明或判断函数的单调性
    例1 证明:函数f(x)=x+在(2,+∞)上单调递增.
    [证明] ∀x1,x2∈(2,+∞),且x1 则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=.
    ∵24,x1x2-4>0.
    ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴函数f(x)=x+在(2,+∞)上单调递增.
    金版点睛
    定义法证明单调性的步骤
    判断函数的单调性常用定义法和图象法,而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作.
    利用定义法判断函数的单调性的步骤为:

    注意:对单调递增的判断,当x1 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或>0.
    对单调递减的判断,当x1f(x2),相应地也可用一个不等式来替代:
    (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或<0.
     利用单调性的定义判断函数f(x)=在(-1,+∞)上的单调性.
    解 ∀x1,x2∈(-1,+∞),且x1 ∵-10,x1+1>0,x2+1>0.
    ∴>0,
    即f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2).
    ∴f(x)=在(-1,+∞)上单调递减.
    题型二 求单调区间
    例2 (1)求函数y=|x2+2x-3|的单调递增区间与单调递减区间;
    (2)作出函数f(x)=+的图象,并指出其单调区间.
    [解] (1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.作出f(x)的图象,保留其在x轴上及其上方部分,将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方,得到y=|x2+2x-3|的图象,如图所示.

    由图象,得原函数的单调递增区间是[-3,-1]和[1,+∞),单调递减区间是(-∞,-3]和[-1,1].
    (2)函数f(x)可化为:
    f(x)=|x-3|+|x+3|=
    作出函数f(x)的图象如图所示.

    由图象知函数的单调区间为(-∞,-3],[3,+∞).
    其中,单调递减区间为(-∞,-3],单调递增区间为[3,+∞).
    金版点睛
    常用画图象求单调区间
    (1)对于函数单调区间的确定,常借助于函数图象直接写出.
    (2)对于含有绝对值的函数,往往转化成分段函数去处理其图象,借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性(区间).
    (3)函数的单调区间是函数定义域的子集,在求解的过程中不要忽略了函数的定义域.



     (1)根据下图说出函数的单调递增区间与单调递减区间;

    (2)写出f(x)=|x2-2x-3|的单调区间.
    解 (1)函数的单调递增区间是[0,2],[4,5],函数的单调递减区间是[-1,0],[2,4].
    (2)先画出f(x)=的图象,如图.

    所以f(x)=|x2-2x-3|的单调递减区间是(-∞,-1],[1,3];单调递增区间是[-1,1],[3,+∞).
    题型三 抽象函数的单调性
    例3 设f(x)是定义在R上的函数,对m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0,f(n)≠0),且当x>0时,0 (1)f(0)=1;
    (2)∀x∈R,恒有f(x)>0;
    (3)f(x)是减函数.
    [证明] (1)根据题意,令m=0,可得f(0+n)=f(0)·f(n).
    ∵f(n)≠0,∴f(0)=1.
    (2)由题意知x>0时,0 当x=0时,f(0)=1>0,
    当x<0时,-x>0,∴0 ∵f[x+(-x)]=f(x)·f(-x),
    ∴f(x)·f(-x)=1,
    ∴f(x)=>0.
    ∴∀x∈R,恒有f(x)>0.
    (3)∀x1,x2∈R,且x1 则f(x2)=f[x1+(x2-x1)],
    ∴f(x2)-f(x1)=f[x1+(x2-x1)]-f(x1)=f(x1)·f(x2-x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1].
    由(2)知f(x1)>0,又x2-x1>0,
    ∴0 故f(x2)-f(x1)<0,∴f(x)是减函数.
    金版点睛
    抽象函数单调性的判断方法
    这里的抽象函数一般由方程(不等式)确定,解决这类函数的单调性问题通常有两种方法.一种是“凑”,凑定义或凑已知,从而使用定义或已知条件得出结论;另一种是“赋值”,给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试.
    注意:若给出的是和型(f(x+y)=…)抽象函数,判定符号时的变形为f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1),f(x2)-f(x1)=f(x2)-f[(x1-x2)+x2];
    若给出的是积型(f(xy)=…)抽象函数,判定符号时的变形为f(x2)-f(x1)=f-f(x1),f(x2)-f(x1)=f(x2)-f.

     已知函数f(x),∀x,y∈R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0.求证:f(x)为减函数.
    证明 ∀x1,x2∈R,且x2>x1,
    则x2-x1>0,
    ∵当x>0时,f(x)<0,∴f(x2-x1)<0,
    ∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)<0,
    ∴f(x)为减函数.
    题型四 复合函数的单调性
    例4 求函数f(x)=的单调区间.
    [解] 易知函数f(x)的定义域为{x|x<-4或-42}.
    令u=8-2x-x2=-(x+1)2+9,
    易知其单调递增区间是(-∞,-1],单调递减区间是(-1,+∞).
    ∴函数y=f(x)的单调递增区间是(-1,2)和(2,+∞),单调递减区间是(-∞,-4)和(-4,-1].
    金版点睛
    一般地,对于复合函数y=f[g(x)],如果t=g(x)在(a,b)上单调,并且y=f(t)在(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))上也单调,那么y=f[g(x)]在(a,b)上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”.

    若一个函数是由多个简单函数复合而成的,则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个,则这个复合函数为增函数;若减函数有奇数个,则这个复合函数为减函数.
    判断复合函数y=f[g(x)]的单调性的步骤:
    (1)确定函数的定义域;
    (2)将复合函数分解成y=f(u),u=g(x);
    (3)分别确定这两个函数的单调性;
    (4)确定复合函数y=f[g(x)]的单调性.

     已知函数f(x)在定义域[0,+∞)上单调递减,求f(1-x2)的单调递减区间.
    解 ∵f(x)的定义域为[0,+∞),
    ∴1-x2≥0,即x2≤1,故-1≤x≤1.
    令u=1-x2,则f(1-x2)=f(u).
    ∵u=1-x2在[0,1]上单调递减,
    ∴f(1-x2)在[0,1]上单调递增;
    ∵u=1-x2在[-1,0]上单调递增,
    ∴f(1-x2)在[-1,0]上单调递减.
    故f(1-x2)的单调递减区间为[-1,0].
    题型五 函数单调性的应用
    例5 (1)已知y=f(x)在定义域(-1,1)上单调递减,且f(1-a) (2)已知函数f(x)=x2-2(1-a)x+2在(-∞,4]上单调递减,求实数a的取值范围.
    [解] (1)由题意可知
    解得0 又f(x)在(-1,1)上单调递减,且f(1-a) ∴1-a>2a-1,即a<.②
    由①②可知,0 即所求a的取值范围是.
    (2)∵f(x)=x2-2(1-a)x+2
    =[x-(1-a)]2+2-(1-a)2,
    ∴函数f(x)的单调递减区间是(-∞,1-a].
    又∵函数f(x)在(-∞,4]上单调递减,
    ∴1-a≥4,即a≤-3.
    ∴所求实数a的取值范围是(-∞,-3].
    金版点睛
    利用单调性比较大小或解不等式的方法
    (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
    (2)相关结论
    ①正向结论:若y=f(x)在给定区间上单调递增,则当x1x2时,f(x1)>f(x2);
    ②逆向结论:若y=f(x)在给定区间上单调递增,则当f(x1)f(x2)时,x1>x2.
    当y=f(x)在给定区间上单调递减时,也有相应的结论.

     (1)已知函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数t都有f(2+t)=f(2-t),试比较f(1),f(2),f(4)的大小;
    (2)已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2) 解 (1)由题意知f(x)的图象的对称轴方程为x=2,
    故f(1)=f(3),
    由题意知f(x)在[2,+∞)上单调递增,
    所以f(2) (2)由题意,得解得1≤x≤2.①
    因为f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2) 由①②得1≤x<.
    所以满足题设条件的x的取值范围为.


    1.下图中是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,则下列关于函数f(x)的说法错误的是(  )

    A.函数在区间[-5,-3]上单调递增
    B.函数在区间[1,4]上单调递增
    C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
    D.函数在区间[-5,5]上没有单调性
    答案 C
    解析 函数在区间[-3,1]和[4,5]上单调递减,在区间[-3,1]∪[4,5]上无单调性.故选C.
    2.下列函数中,在区间(0,1)上单调递增的是(  )
    A.y=|x| B.y=3-x
    C.y= D.y=-x2+4
    答案 A
    解析 因为-1<0,所以一次函数y=-x+3在R上单调递减,反比例函数y=在(0,+∞)上单调递减,二次函数y=-x2+4在(0,+∞)上单调递减.故选A.
    3.对于函数y=f(x),在给定区间上有两个数x1,x2,且x1 A.一定是增函数 B.一定是减函数
    C.可能是常数函数 D.单调性不能确定
    答案 D
    解析 由单调性的定义可知,不能用特殊值代替一般值.故y=f(x)的单调性不能确定.
    4.若函数f(x)=2x2-mx+3,在[-2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减,则f(1)=________.
    答案 13
    解析 由条件知x=-2是函数f(x)图象的对称轴,所以=-2,m=-8,则f(1)=13.
    5.已知函数f(x)=,判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明.
    解 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
    证明如下:∀x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,
    则f(x1)-f(x2)=-
    =,
    由x1,x2∈(0,+∞),得x1+1>0,x2+1>0,
    又由x1>x2,得x1-x2>0,故f(x1)-f(x2)>0,
    即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.

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