高中人教版新课标A3.1.1方程的根与函数的零点授课ppt课件

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课标要求:1.结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及个数.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的判断方法,会求函数的零点,并会判断零点的个数.
1.函数的零点对于函数y=f(x),把使 叫做函数y=f(x)的零点.探究1:函数的零点是函数与x轴的交点吗?答案:不是.函数的零点不是个点,而是一个数,该数是函数图象与x轴交点的横坐标.2.方程、函数、图象之间的关系方程f(x)=0 ⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x) .
3.函数零点的存在条件如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 的一条曲线,并且有 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内 ,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的根.探究2:函数y=f(x)在[a,b]上连续不间断,当f(a)f(b)<0时,函数零点个数是否唯一?答案:不唯一.只有函数y=f(x)在区间[a,b]上是单调函数时函数零点唯一.
f(a)·f(b)<0
解析:当x≤0时,由f(x)=x2+2x-3=0得x1=-3,x2=1(舍去);当x>0时,由f(x)=-2+ln x=0得x=e2.综上,函数的零点个数为2.故选B.
4.方程2x=10-x的根x∈(k,k+1),k∈Z,则k=　　　　. 
5.函数f(x)=|4x-x2|-a恰有3个零点,则实数a=　　　　. 
(2)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数g(x)=bx2+ax的零点.
(1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)=0的解,求解时注意函数的定义域.(2)已知x0是函数f(x)的零点,则必有f(x0)=0.
(2)求函数f(x)=x3-2x2-x+2的零点,并画出函数的大致图象.
解:(2)令x3-2x2-x+2=0,得x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1)=(x-2)(x+1)(x-1)=0,所以函数f(x)有3个零点,分别为-1,1,2.又f(0)=2>0,根据函数零点的性质可知在区间(-1,1)内,f(x)>0;在区间(-∞,-1)内,f(x)<0;在区间(1,2)内,f(x)<0;在区间(2,+∞)内,f(x)>0.其大致图象如图所示.
【例2】 判断函数f(x)的零点个数.(1)f(x)=x2+mx+1(m∈R);
解:(1)Δ=m2-4×1×1=m2-4,①当Δ<0,即m2-4<0时,解得-20,即m2-4>0时,解得m<-2或m>2,此时方程f(x)=0有两个不相等的实根,所以函数有两个零点.综上,当m∈(-2,2)时,函数无零点;当m=±2时,函数有一个零点;当m∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,函数有两个零点.
(2)f(x)=x-3+ln x.
解:(2)令f(x)=x-3+ln x=0,则ln x=3-x,在同一平面直角坐标系内画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示,由图可知函数y=ln x,y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点.
判断函数零点的个数的方法(1)直接求出函数的零点进行判断,即转化为方程f(x)=0解的个数;(2)结合函数图象进行判断,即转化为函数图象与x轴交点个数或两个函数交点的个数;(3)借助函数的单调性进行判断.
即时训练2-1:(1)函数f(x)=2x|lg0.5x|-1的零点个数为(　　)(A)1(B)2(C)3(D)4
(2)若函数f(x)=x2-ax+a只有一个零点,则实数a的值是　　　　. 
解析:(2)由已知得Δ=(-a)2-4×1×a=0,即a2-4a=0.解得a=0或a=4.
判断函数零点所在的区间
(2)根据表格内的数据,可以断定方程ex-x-3=0的一个根所在区间是(　　)
解析:(2)构造函数f(x)=ex-x-3,由上表可得f(-1)=0.37-2=-1.63<0,f(0)=1-3=-2<0,f(1)=2.72-4=-1.28<0,f(2)=7.39-5=2.39>0,f(3)=20.08-6=14.08>0,f(1)·f(2)<0,所以方程的一个根所在区间为(1,2),故选C.
(1)确定函数的零点所在的区间时,通常利用零点存在性定理,转化为判断区间端点对应的函数值的符号是否相反.(2)求方程f(x)=g(x)的根所在的区间,可利用构造函数的方法构造函数h(x)=f(x)-g(x),通过判断函数h(x)零点所在的区间转化为方程f(x)=g(x)的根所在的区间.
(2)方程lg3x+x=3的解所在的区间是(　　)(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,+∞)
解析:(2)构造函数f(x)=lg3x+x-3,方程lg3x+x=3的解所在的区间,函数f(x)=lg3x+x-3零点所在的区间,由于f(0)不存在,f(1)=-2,f(2)=lg32-1<0,f(3)=1>0.故零点所在区间是(2,3),方程lg3x+x=3的解所在的区间为(2,3),故选C.